滚动数组

定义

• 关于滚动数组，其实就是一个普通的数组。但是它的特点在于优化空间，主要作用于递推或动态规划中（如01背包问题）。因为DP题目是一个自底向上的扩展过程，我们常常需要用到的是连续的解，前面的解往往可以舍去。所以用滚动数组优化是很有效的。利用滚动数组的话在N很大的情况下可以达到压缩存储的作用。

• 假设f(i)只用到f(i - 1)，那么就可以开一个二维数组f(2 , N)。如下图，f(0)、f(1)只用到f(0)、f(2)只用到f(1)、f(3)只用到f(2)，依次这样.....那么计算的时候就可以转成：f(0)、f(1)用f(0)、f(2)用f(0)、f(3)用f(1)....这样依次交替f(0)、f(1)进行运算其他的元素，最后可以优化成一维。
  

总结

简单来说，就是如果二维数组f[5000][10000]这种，两个维都很大，但是当前的依赖上一个计算得到。那就可以用f[2][10000]来代替。
因为当前用上一个元素计算完成之后，那么上一个元素就无用了，可以用来存储下一个元素，然后下一个元素又用当前元素计算，形成滚动效果（逻辑上）。
代码上就表现为f[0][i]和f[1][i]交替计算。

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例子

dp

• 滚动数组实际是一种节省空间的办法，时间上没啥优势，多用于DP中，举个例子吧：

• 一个DP，平常如果需要1000×1000的空间，其实根据DP的无后效性，可以开成2×1000，然后通过滚动，获得和1000×1000一样的效果。滚动数组常用于DP之中，在DP过程中，我们在由一个状态转向另一个状态时，很可能之前存储的某些状态信息就已经无用了，例如在01背包问题中，从理解角度讲我们应开DP[i][j]的二维数组，第一维我们存处理到第几个物品，也就是阶段了，第二维存储容量，但是我们获得DP[i],只需使用DP[i - 1]的信息，DP[i - k],k>1都成了无用空间，因此我们可以将数组开成一维就行，迭代更新数组中内容，滚动数组也是这个原理，目的也一样，不过这时候的问题常常是不可能缩成一维的了，比如一个DP[i][j]需要由DP[i - 1 ][k],DP[i - 2][k]决定，i<n，0<k<=10;n <= 100000000;显然缩不成一维,正常我们应该开一个DP[100000005][11]的数组，结果很明显，超内存，其实我们只要开DP[3][11]就够了DP[i%3][j]由DP[(i - 1)%3][k]和DP[(i - 2)%3][k]决定，空间复杂度差别巨大。

• 二维数组举例

int i, j, d[100][100];
for(i = 1; i < 100; i++)
    for(j = 0; j < 100; j++)
        d[i][j] = d[i - 1][j] + d[i][j - 1];

上面的d[i][j]只依赖于d[i - 1][j], d[i][j - 1];

运用滚动数组：

 
int i, j, d[2][100];
for(i = 1; i < 100; i++)
    for(j = 0; j < 100; j++)
        d[i % 2][j] = d[(i - 1) % 2][j] + d[i % 2][j - 1];

斐波那契数列

int main()
{
    int i;
    long long d[80];
    d[0] = 1;
    d[1] = 1;
    for(i = 2; i < 80; i++)
    {
        d[i] = d[i - 1] + d[i - 2];
    }
    printf("%lld\n",d[79]);
    return 0;
}

上面这个循环d[i]只依赖于前两个数据d[i - 1]和d[i - 2]; 为了节约空间用滚动数组的做法。

//原本80空间优化成3个空间
int Fib[3];  
  
int fib(int n)  
{  
    Fib[1] = 0;   
    Fib[2] = 1;  
    for(int i = 2; i <= n; ++i)  
    {  
        Fib[0] = Fib[1];   
       Fib[1] = Fib[2];  
        Fib[2] = Fib[0] + Fib[1];  
    }  
    return Fib[2];  
}  

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下面的取余运算，我们成功地只保留了需要的最后3个解，数组好象在“滚动”一样，所以叫滚动数组(对于二维也可以用)。
所以，很明显，滚动数组可以通过取余（％）来实现的，(实现一个滚动|循环)
但是这里存在一个通病，那就是时间换内存一定会牺牲时间。因此，滚动数组一般用在时间比较充裕，而内存不够的情况下。

int main()
{
    int i;
    long long d[3];
    d[0] = 1;
    d[1] = 1;
    for(i = 2; i < 80; i++)
    {
        d[i % 3] = d[(i - 1) % 3] + d[(i - 2) % 3];
    }
    printf("%lld\n", d[79%3]);
    return 0;
}

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参考