神奇的0x5f3759df

Quake-III Arena里面有一个闻名游戏界的开平方取倒函数：

/*
** float q_rsqrt( float number )
*/
float Q_rsqrt( float number )
{
    long i;
    float x2, y;
    const float threehalfs = 1.5F;
 
    x2 = number * 0.5F;
    y  = number;
    i  = * ( long * ) &y;                       // evil floating point bit level hacking
    i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );               // what the fuck?
    y  = * ( float * ) &i;
    y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );   // 1st iteration
//  y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );   // 2nd iteration, this can be removed
 
#ifndef Q3_VM
#ifdef __linux__
    assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
#endif
#endif
    return y;
}

第一次看到感觉很厉害，但却无法弄懂它的原理。这个函数的作用是用于对一个数开平方并取倒数，比用C库的sqrt实现(1.0f/sqrt(x))快了将近4倍。实现原理是牛顿迭代，也是平方根的一般算法，反复执行 y = y * ( threehalfs – ( x2 * y * y ) ); 其中y趋向于(1.0f/sqrt(x))，拿到的结果可以无限接近于我们想要的精度。

这个函数实现的算法被称为‘Fast Inverse Square Root’, 而它神奇的地方在于函数里面的实现采用了一个神秘的常数：0x5f3759df. 这个常数的来源目前无法被考究，也不能追溯确定这个常数的方法。

这里还有个典故，在Q3的代码公布，并且数学家Chris Lomont得知0x5f3759df这个常数之后，他通过用暴力搜索得出了与0x5f3759df非常接近、并且代入后得出的结果更加精确的魔数0x5f375a86，当然，实际上和0x5f3759df还是非常接近。

3D游戏引擎设计的作者David Eberly曾经发表论文解释了这个算法：
http://www.geometrictools.com/Documentation/FastInverseSqrt.pdf

不过最早还是Lomont在2003发表的：
http://www.lomont.org/Math/Papers/2003/InvSqrt.pdf

而David Eberly最近的一次补充是在2010年。

See also: http://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root