数据结构和算法 - 二叉树 - 相关概念

文章目录

在了解树之前的相关知识

1、树是在什么样子的条件下面产生的？

在计算机中，电脑里面的文件中是存在索引的，在图书馆中，书也是存在索引的，这都是为了实现快速查找的目的。想一下，所谓的数据结构，就是为了实现数据的快速增删改查，提高响应效率，使得系统看起来运行时流畅的，不然用户在使用的过程中，点击一次响应一天，那这个系统（软件）就没有人使用了。

在进行查找的时候，使用遍历的方式，是非常的消耗电脑的内存的，可以，但是有更好的查询方式。这个时候查找出来了二分查找，使得查询的效率得到了提升，从二分查找得到启示，使用树的结构进行元素的查找就算是查询10亿条数据，最坏情况下查询30次（因为查询的元素个数是2^30 ,30 也代表查询的次数 ，2^30次方表示可以放进去二叉树的元素数目，就是每一个节点都可以有两个子节点，所以是2的n 次方(n 为层数) ）

2、树的存储方式

存储方式一般是使用数组或者链表的方式进行树的存储；
数组形式适合完全二叉树；
链表形式适合普通的树的表达；

3、树的遍历方式（Source:MOOC）

1、前序遍历

在这里插入图片描述

2、中序遍历

在这里插入图片描述

3、后序遍历

在这里插入图片描述

4、层序遍历

二叉树遍历的基本思想：
将二维结构的树状转换成为一维结构的线性结构
在这里插入图片描述

创建一个队列，把根结点 A 放进去，然后A 从队列里面抛出来，B C 放进去；

在这里插入图片描述

B 出来，把它的左右儿子放到队列里面去，就这样一直的进行循环即可
在这里插入图片描述

得到了最终的访问结果如下所示：
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

层序遍历主要做三件事情：
1、把队列里面最前面的元素抛出来；
2、把抛出来的元素进行打印；
3、把它的两个左儿子，右儿子结点放到队列里面去；

4、二叉树的结构的应用

（1）输出二叉树中的所有的叶子结点

在前序遍历中简单的加一行代码即可，当一个结点没有左儿子，没有右儿子的时候，我们才进行打印，其他的时候不打印，进行控制
在这里插入图片描述

（2）求解二叉树的高度

思想：求解二叉树中左右子树的最大高度 + 1；
也就是 max(HeighLeft,HeightRight)
在这里插入图片描述
上面使用了后序遍历求解了二叉树的高度

(3) 二元运算表达式树及其遍历

在这里插入图片描述

（4）判断使用了两种遍历序列能否唯一确定一颗二叉树？

告诉前序，后序两个，不能唯一确定，因为左右的边界是不清楚的；

在这里插入图片描述

使用前序，中序可以唯一确定二叉树

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

（5）树的同构问题

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

解决同构问题的关键点：
如何求解出来树的根结点呢？

关键：
1、二叉树是用什么进行表示的呢？
2、建立起来二叉树
3、进行二叉树的结构的判断，判断其是不是同构的二叉树

上面图片中的两棵树，左右经过了有限次数的盖子的相互互换，可以转变成为相同的树，所以认定两个树是同构的；

5、二叉树的一些典型应用

5.1 二叉搜索树（动态的查找）（BST）(二叉搜索树)（二叉查找树）

在这里插入图片描述
静态查找：查找的时候元素是不变的；（有二分查找）
动态查找：查找的时候伴随着增删改查等操作；
在这里插入图片描述
需要满足的条件：左子树小于根节点的数值，右子树大于根结点的数值

二叉搜索树的常用函数：

在这里插入图片描述

一、树

一个树只有一个根节点 父节点 兄弟节点 子节点 兄弟节点

1、空树

没有任何节点，就是空树； 一个树可以只有一个节点：就是根节点； 子树，左子树，右子树

2、节点的度

节点的度就是子树的个数，下面树中节点 1 的度就是 5；

节点 61 的度就是 0

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-yCO6kmgm-1632539807114)(img.png)]

3、叶子节点

叶子节点就是度为 0 的节点，就是没有子树的节点；
上图中的 4 就是叶子节点；
非叶子节点：度不为 0 的节点；

4、层数

根节点是第一层，后面的一次递增
从 1 开始，不是从 0 开始的；

5、节点的深度

从根节点到当前节点的唯一路径 比如 2 的深度是 2 ； 223 的深度是 4 ；是从1 开始的， 根节点是 1 ；

6、高度

从当前节点到最远叶子节点的路径上的节点数目 比如：2 的高度是 3；
5 的高度是 2 ；
从自己本身开始，自己就是 1 ；

7、树的深度等于树的高度

8、有序树

上图中的 2 3 4 4 5 6 都是顺序排列的

9、无序树

2 3 4 5 6 之间的顺序是没有规则的； 无序树也叫做自由树；

二、二叉树

1、二叉树的特点

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-mMWrEbOr-1632539807116)(img_1.png)]

（1）每个节点的度最大为 2 ； 最多拥有两个子树； 度的值为：0 1 2

（2）左子树和右子树之间是存在差异的；

（3）即使某个节点只有一颗子树，也是需要区分左子树和右子树

2、二叉树是有序树吗？

是的，因为左右子树是有严格的要求的

3、二叉树的性质

在这里插入图片描述

（1）非空二叉树的第 i 层，最多有 2 * i - 1 个节点 (i >= 1)； 树从第一层开始计算的，不是 0 层开始计算的

（2）在高度为 h 二叉树上面，里面最多存在着 2^h - 1 个节点（h >= 1）; 就是所有的元素都是满的；

（3）对于任何的非空二叉树，如果叶子节点的个数是 n0,度为 2 的节点个数为 n2 ，则有 n0 = n2 + 1

（4）二叉树的边数目

4、真二叉树

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-CdhIDqZ8-1632539807117)(img_2.png)]
所有节点的度要么是 0 要么是 2； 对于满二叉树，相关的定义需要严格一些；

下面的不是真二叉树：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-KpfhzkCN-1632539807120)(img_4.png)]

5、满二叉树极其相关的性质

  • 满二叉树的节点的度要么是 0 ，要么是 2 ，并且所有的叶子节点都是在最后一层； 满二叉树是真二叉树的加强版本；
  • 在同样高度的二叉树中，满二叉树的叶子节点的数目是最多的，总节点的数目是最多的；
  • 满二叉树一定是真二叉树，真二叉树不一定是满二叉树；
    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-BYuF430n-1632539807121)(img_5.png)]

满二叉树的叶子节点的数量：2^(h - 1)
总节点的数目为：n = 2^h - 1;

6、完全二叉树

叶子节点只会出现在最后两层，并且最后一层的叶子节点都是靠着左边进行对齐的； 最后一层的叶子节点是需要靠着左边进行对齐的； 如果在最后一层是在右边对齐的，就不是完全二叉树，需要加以区别；
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-2abQc5MS-1632539807121)(img_6.png)]

7、完全二叉树的性质

  • 度为 1 的节点只有左子树；
  • 度为 1 的节点，要么是 0 个要么是 1 个；
  • 完全二叉树的倒数第二层一定是一个满二叉树；
  • 完全二叉树放满了就是满二叉树；
  • 同样节点数量的二叉树，完全二叉树的高度是最小的；

拥有 n 个节点的二叉树，从 1 开始编号，第一个节点就是根节点，当 i > 1 的时候，它的父节点 的编号为：floor(i / 2) ;
floor 是向下取整的函数；

如果 2i <= n ，左子节点的编号为： 2i;

2i > n 没有左子节点；

面试题目（计算叶子节点的数目）

一个完全二叉树有 768 个节点，求叶子节点的个数：

在这里插入图片描述
总节点数量：n n 为奇数 叶子节点的数量： n0 = (n + 1) / 2;

n 为偶数 叶子节点数量： n0 = n / 2;

结算叶子节点的数量： n0 = n / 2 + 1 / 2;

使用取整函数进行公式的统一： n0 = floor(n / 2 + 1 / 2); 完美解决
上面提到的向上，向下取整都是可以互相替换的 ceiling();

关于上面的公式总结：
叶子节点的个数：
n0 = floor((n + 1) / 2) = ceiling(n / 2)

非叶子节点的数目：
n1 + n2 = floor(n / 2) = ceiling((n - 1) / 2)

8、真二叉树，满二叉树，完全二叉树的区别

真二叉树：
所有的非叶子节点的度都是 2

满二叉树：
所有的非叶子节点的度都是 2 ，并且所有的叶子节点都在最后一层

完全二叉树：
二叉树，从左到右，从上到下面，按照顺序依次的，进行放置数据；

三、二叉搜索树（binary search tree）

在这里插入图片描述

// 二叉搜索树也叫做二叉查找树或者二叉排序树
public class BinarySearchTree {
}

1、二叉搜索树的相关性质

1、任意一个节点的值都是大于其左子树的所有节点的值
2、任意一个节点的值都小于其右子树的所有节点的值
3、左右子树也是一颗二叉搜索树

二叉搜索树可以大大提高搜索数据的效率；
二叉搜索树存储的元素必须是可以进行比较的，比如 int double 等；

2、二叉搜索树的接口设计

在这里插入图片描述
二叉树的插入，删除元素的操作，和插入的顺序是没有关系的，所以说二叉树是没有索引的相关概念的，也就是说，用不到;

四、搜索二叉树实现源代码

重要代码实现

add()

实现思路

 * if null == root
 * 		 在第一个位置进行元素的创建以及元素的连接即可

 * if null != root
 * 		 1、找到需要插入元素的父节点；
 *		 2、创建新的节点
 *		 3、parent.left = node ｜｜ parent.right = node

    public void add(E element) {
        elementNotNullCheck(element);
        if (null == root) {
            root = new Node<>(element, null);
            System.out.println(root.element); 
            size++;
            return;
        } else {
            // 定义一个父节点,目的是与下面的联合使用，找到插入元素的饿父节点，方便元素的插入操作；
            Node<E> parent = root;
            // 找到父节点
            Node<E> node = root;
            int cmp = 0;
            while (node != null) {
                cmp = compare(node.element, element);

                // parent 变量是为了找出父节点，经过循环 node 在改变，parent 的位置也是在改变的
                parent = node;

                if (cmp > 0) {
                    node = node.right; // node 是中间变量，可以进行遍历操作，因为是树，所以进行左右的遍历
                } else if (cmp < 0) {
                    node = node.left;
                } else { // 剩下了返回值是 == 0 的；
                    return;
                }
            }

            // 循环出来找到了父节点的位置；
            // 找到了父节点所在的位置，进行父节点下面的额元素的插入，到底是在左边还是右边
            Node<E> newNode = new Node<>(element, parent);
            if (cmp > 0) {
                parent.left = newNode;
                System.out.println("添加到了父节点的左节点" + newNode.element);
            } else {
                parent.right = newNode;
                System.out.println("添加到了父节点的右节点" + newNode.element);
            }
            size++;
        }
    }

全部代码实现

public class BinarySearchTree<E> {
    // 创建在下面进行判断操作时候使用的比较器；
    private final Comparator<E> comparator;
    // 节点的根节点属性
    Node<E> root;
    // 节点的数目属性
    private int size;

    // 对于二叉树里面的比较器的赋值
    public BinarySearchTree(Comparator<E> comparator) {
        this.comparator = comparator;
    }

    // 可能是不会进行比较器的传递的
    public BinarySearchTree() {
        this(null);
    }


    public int size() {
        return size;
    }

    public boolean isEmpty() {
        return size == 0;
    }

    public void clear() {

    }

    /**
     * if null == root
     * 在第一个位置进行元素的创建以及元素的连接即可
     * <p>
     * if null != root
     * 1、找到需要插入元素的父节点；
     * 2、创建新的节点
     * 3、parent.left = node ｜｜ parent.right = node
     * <p>
     * 遇到的插入的值已经在树中存在了，应该怎么处理？
     * 1、直接return
     * 2、使用了覆盖
     *
     * @param element 需要放进去的元素的值
     */
    public void add(E element) {
        elementNotNullCheck(element);
        if (null == root) {
            root = new Node<>(element, null);
            System.out.println(root.element); 
            size++;
            return;
        } else {
            // 定义一个父节点,目的是与下面的联合使用，找到插入元素的饿父节点，方便元素的插入操作；
            Node<E> parent = root;
            // 找到父节点
            Node<E> node = root;
            int cmp = 0;
            while (node != null) {
                cmp = compare(node.element, element);

                // parent 变量是为了找出父节点，经过循环 node 在改变，parent 的位置也是在改变的
                parent = node;

                if (cmp > 0) {
                    node = node.right; // node 是中间变量，可以进行遍历操作，因为是树，所以进行左右的遍历
                } else if (cmp < 0) {
                    node = node.left;
                } else { // 剩下了返回值是 == 0 的；
                    return;
                }
            }

            // 循环出来找到了父节点的位置；
            // 找到了父节点所在的位置，进行父节点下面的额元素的插入，到底是在左边还是右边
            Node<E> newNode = new Node<>(element, parent);
            if (cmp > 0) {
                parent.left = newNode;
                System.out.println("添加到了父节点的左节点" + newNode.element);
            } else {
                parent.right = newNode;
                System.out.println("添加到了父节点的右节点" + newNode.element);
            }

            size++;
        }
    }

    public void remove(E element) {

    }

    public boolean contains(E element) {
        return false;
    }

    private void elementNotNullCheck(E element) {
        if (element == null) {
            try {
                throw new IllegalAccessException("element not be null!!!");
            } catch (IllegalAccessException e) {
                e.printStackTrace();
            }
        }
    }

    /**
     * @param e1
     * @param e2
     * @return 返回值等于 0；代表，两个元素 e1 和 e2 是相等的；
     * > 0, e1 > e2
     * < 0, e1 < e2
     */
    private int compare(E e1, E e2) {
        // 比较器不是空的，那就是有了比较器，直接使用比较器进行比较即可
        if (comparator != null) {
            return comparator.compare(e1, e2);
        }

        // 传进来的参数。没有对其进行比较器的传入，默认两个数值一定是可以进行比较的，把 e1 进行强制的类型转换，进行比较的方法的调用；
        // 强制进行了类型的转换之后，e1 具有了 Comparable 的功能；
        return ((java.lang.Comparable<E>) e1).compareTo(e2);
    }


    // 在二叉树里面，需要对于一个节点进行维护，保证各个节点之间的连线的正确性
    private static class Node<E> {
        E element;
        Node<E> left; // 表示开辟了内存空间，至于是否存放相关的 Node 数据类型，看后面的程序的需要
        Node<E> right;
        Node<E> parent;

        public Node(E element, Node<E> parent) { // element parent 才是必要的，其他的不是必要的，这两个元素是比较常用的
            this.element = element;
            this.parent = parent;
        }
    }
}

五、遍历

5.1 前序遍历

先找到根节点，然后找到其左子树，然后遍历右子树
在这里插入图片描述

5.2 中序遍历

先访问左子树，在访问根节点，再访问右子树
访问出来的数字是从小到大的呈现；
先访问右子树，在访问中间节点，再访问左节点；
在这里插入图片描述

5.3 后序遍历

根节点放在了后面进行遍历
在这里插入图片描述

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