BZOJ3032 七夕祭

Description

　　七夕节因牛郎织女的传说而被扣上了「情人节」的帽子。于是TYVJ今年举办了一次线下七夕祭。Vani同学今年成功邀请到了cl同学陪他来共度七夕，于是他们决定去TYVJ七夕祭游玩。　　
TYVJ七夕祭和11区的夏祭的形式很像。矩形的祭典会场由\(N\)排\(M\)列共计\(N×M\)个摊点组成。虽然摊点种类繁多，不过cl只对其中的一部分摊点感兴趣，比如章鱼烧、苹果糖、棉花糖、射的屋……什么的。Vani预先联系了七夕祭的负责人zhq，希望能够通过恰当地布置会场，使得各行中cl感兴趣的摊点数一样多，并且各列中cl感兴趣的摊点数也一样多。
　　不过zhq告诉Vani，摊点已经随意布置完毕了，如果想满足cl的要求，唯一的调整方式就是交换两个相邻的摊点。两个摊点相邻，当且仅当他们处在同一行或者同一列的相邻位置上。由于zhq率领的TYVJ开发小组成功地扭曲了空间，每一行或每一列的第一个位置和最后一个位置也算作相邻。现在Vani想知道他的两个要求最多能满足多少个。在此前提下，至少需要交换多少次摊点。

Input

第一行包含三个整数\(N\)和\(M\)和\(T\)。\(T\)表示cl对多少个摊点感兴趣。
　　 接下来\(T\)行，每行两个整数\(x, y\)，表示cl对处在第\(x\)行第\(y\)列的摊点感兴趣。

Output

　　 首先输出一个字符串。如果能满足Vani的全部两个要求，输出both；如果通过调整只能使得各行中cl感兴趣的摊点数一样多，输出row；如果只能使各列中cl感兴趣的摊点数一样多，输出column；如果均不能满足，输出impossible。
　　如果输出的字符串不是impossible， 接下来输出最小交换次数，与字符串之间用一个空格隔开。

Solution

观察题目的交换操作，发现交换左右两个相邻的摊点只会改变某两列中cl感兴趣的摊点数，不会改变每行中cl感兴趣的摊点数。交换上下两个相邻的摊点只会改变某两行中cl感兴趣的摊点数，不会改变每列中cl感兴趣的摊点数。基于这点，我们可以将行和列分开计算！于是原问题被转化为两个子问题：
　　1、通过最少次数的左右交换使得每列中cl感兴趣的摊点数数量相同。
　　2、通过最少次数的上下交换使得每行中cl感兴趣的摊点数数量相同。
考虑问题1（因为问题2同理）：首先我们应该判断是否能使问题1成立，易得\(n|T\)是成立问题1的充要条件，如果没有\(n|T\),那么就不能使各行中cl感兴趣的摊点数一样多。假设现在已有\(n|T\)，那我们怎么求交换次数呢？ 假装我们没有看到每一行的第一个位置和最后一个位置也算作相邻 那么我们可以惊奇的发现，这道题和均分纸牌长的有点像其实是一模一样：假设有\(n\)个人，总共\(T\)张牌，对于第\(i\)个人，其手上有\(c_i\)张牌，满足\(\sum_{i=1}^n c_i=T 且 n|T\)，一个人可以将手上的一张纸牌交给旁边的人称为1次交换，最终使得每个人手上的纸牌数量相等，求最少交换次数。令\(G_i=\sum_{j=1}^i {c_i-T \div n}\)，则$$Ans=\sum_{i=1}^n |G_i|$$
但这种方法只适用于一条直线的均分纸牌，而本题是环装均分纸牌！
But！我们可以总可以得到一种最优方案使得其本质还是一条直线！
考虑断了哪两个人之间的联系：
设把环断开后最后一个人为\(k\)，我们发现前缀和数组\(G\)发生了如下变化，设新的前缀和数组为\(A\)：

\(下标\)	\(变化\)
\(k+1\)	\(A_{k+1}=G_{k+1}-G_k\)
\(k+2\)	\(A_{k+2}=G_{k+2}-G_k\)
\(......\)	\(......\)
\(n\)	\(A_n=G_n-G_k\)
\(1\)	\(A_1=G_1+G_n-G_k\)
\(......\)	\(......\)
\(k\)	\(A_k=G_k+G_n-G_k\)
众所周知，\(G_n=0\)，所以$\text Ans=\sum_{i=1}^n	G_n-G_k

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,t,rsum[100010],csum[100010],sum[100010];
int cas;
long long ans;
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);
    for (int i=1;i<=t;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        rsum[x]++;csum[y]++;
    }
    if (t%n==0)
    {
        cas++;
        for (int i=1;i<=n;i++) rsum[i]-=t/n;
        for (int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+rsum[i];
        sort(sum+1,sum+n+1);
        int mid=sum[(1+n)/2];
        for (int i=1;i<=n;i++)
            ans=ans+abs(sum[i]-mid);
    }
    if (t%m==0)
    {
        cas+=2;
        for (int i=1;i<=m;i++) csum[i]-=t/m;
        for (int i=1;i<=m;i++) sum[i]=sum[i-1]+csum[i];
        sort(sum+1,sum+m+1);
        int mid=sum[(1+m)/2];
        for (int i=1;i<=m;i++)
            ans=ans+abs(sum[i]-mid);
    }
    if (!cas) printf("impossible");
    if (cas==1) printf("row");
    if (cas==2) printf("column");
    if (cas==3) printf("both");
    if (cas) printf(" %lld",ans);
    printf("\n");
    return 0;
}