一种递归<-->数学转换的方法

　　我们经常会用到递归的思想去解决问题，比如说经典的汉诺塔问题、斐波拉契数列问题、二叉树的递归遍历。。。。。

      虽然递归的思想比较直接容易，但是我们知道用递归的效率是很低的。所以我们也经常去探索将递归转换成迭代的方法，下面介绍一类问题的递归-数学转换：

我们先来看这样一个情景：

　　悟空喜欢吃桃，第一天悟空吃掉桃子总数一半多一个，
第二天又将剩下的桃子吃掉一半多一个，
以后每天吃掉前一天剩下的一半多一个，
到第n天准备吃的时候只剩下一个桃子。
聪明的你，请帮悟空算一下，他第一天开始吃的时候桃子一共有多少个呢？

这个问题如果用递归的思想去做显得很简单，我们很容易得到他的递推公式：

f[1] = 1;
f[n] = (f[n-1]-1)/2;

 

这个问题用迭代也很简单：

for (int i = 1; i <= n; i++)
{
    s = (s * 2) + 1;
}

下面提供一种数学方法，直接求出其结果：

本题很容易得到它的递推方程:

f(1) = 1;

f(n) = [f(n-1) + 1] × 2;

于是我们得到:

f(n) + 2 = 2 × [f(n-1) + 2]
f(1) + 2 = 3

=>

f(n) + 2 = 3 × 2

^n-1

=>

f(n) = 3 × 2

^n-1

- 2

　　当然上面是运用我们在高中就学过的数列的知识解决这个问题，对于这种推断题还有另外一种递推方法，虽然对于本题来说很麻烦。但有时候它是无可替代的。

f(1) = 1;
f(n) = 2f(n-1) + 2 = f(n-1) + 2f(n-2) + 4;

=>

f(n) + f(n-1) + 4 = 2 × [f(n-1) + f(n+2) + 4];

设 g(n) = f(n) + f(n-1) + 4;

则 g(n) = 2 × g(n-1);
   g(2) = f(2) + f(1) + 4 = 9;

∴g(n) = 9 × 2

^n-2

(n > 1)

∴f(n)   + f(n-1) = 9 × 2

^n-2

 - 4	①
  f(n-1) + f(n-2) = 9 × 2

^n-3

- 4	②
  ┋
  f(3)   + f(2)   = 9 × 2 - 4
  f(2)   + f(1)   = 9 - 4

把①式减去②式得
  f(n)   = 9 × 2

^n-3

+ f(n-2)
  f(n-2) = 9 × 2

^n-5

+ f(n-4)
  ┋

这时候，我们需要分类讨论了:

1. n为奇数

     f(n)   = 9 × 2

   ^n-3

   + f(n-2)
     f(n-2) = 9 × 2

   ^n-5

   + f(n-4)
     ┋
     f(5)   = 9 × 2

   ²

    + f(3)
     f(3)   = 9 + f(1)
     f(1)   = 1
   
   从下往上迭代，得:
     f(n) = 9 × (2

   ^n-3

    + 2

   ^n-5

    + ... + 2

   ²

    + 1) + 1
   =>
     f(n) = 9 × (1 - 4

   ^(n-1)/2

   ) ÷ (1 - 4) + 1
   =>
     f(n) = 3 × 2

   ^{n - 1}

    - 2
   

2. n为偶数

     f(n)   = 9 × 2

   ^n-3

    + f(n-2)
     f(n-2) = 9 × 2

   ^n-5

    + f(n-4)
     ┋
     f(4)   = 9 × 2

   ¹

    + f(2)
     f(2)   = 4
   
   从下往上迭代，得:
     f(n) = 9 × (2

   ^n-3

    + 2

   ^n-5

    + ... + 2

   ¹

   ) + 4
   =>
     f(n) = 9 × 2 × (1 - 4

   ^(n-2)/2

   ) ÷ (1 - 4) + 4
   =>
     f(n) = 3 × 2

   ^{n - 1}

    - 2
   

现在我们就得到了这道题目的公式了: f(n) = 3 × 2^{n - 1} - 2