约瑟夫环问题的两个方法

　　约瑟夫环是一个数学的应用问题：已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。

 

下面来一个具体的情景：

　　有M个敢死队员要炸掉敌人的一碉堡，谁都不想去，排长决定用轮回数数的办法来决定哪个战士去执行任务。如果前一个战士没完成任务，则要再派一个战士上去。现给每个战士编一个号，大家围坐成一圈，随便从某一个战士开始计数，当数到5时，对应的战士就去执行任务，且此战士不再参加下一轮计数。如果此战士没完成任务，再从下一个战士开始数数，被数到第5时，此战士接着去执行任务。以此类推，直到任务完成为止。指出最后一个去的人。

方法一：直接用顺序表模拟：

/*===========================================================================*\
 *                     约瑟夫环问题
 *
 *                 方法一：用顺序表直接模拟
 *                      
 *                   2013-05-20 by 樊列龙
 *
\*===========================================================================*/

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <malloc.h>

typedef int ElemType;

typedef struct         /* 定义数据结构体类型*/
{
    ElemType *elem;    /* 存储空间基址*/
    int length;        /* 当前长度*/
    int listsize;      /* 当前分配的存储容量(以sizeof(ElemType)为单位)*/
} SqList, *SqListPtr;

/* 初始化 */
void init_sql(SqListPtr L)
{
    printf("Please input the tatal of the team:");
    scanf("%d",&L->listsize);        /*输入敢死队员总数*/

    L->elem = (ElemType *)malloc((L->listsize+1) * sizeof(ElemType)); 
    if(! L->elem)
    {
        printf("分配内存失败\n");
        exit(0);  /*存储分配失败*/
    }
    else
    {
        L->length = L->listsize;
        int i;
        for(i = 1; i <= L->listsize; i++)
        {
            (L->elem)[i] = i;
        }
    }
}

/* 删除第pos位成员 */
int delete_menber(SqListPtr L, int pos)
{
    int i = pos;
    int d = L->elem[pos];
    for(; i <= L->length; i++)
    {
        L->elem[i] = L->elem[i+1];
    }
    L->length--;
    
    return d;
}

int performTask(SqListPtr L)
{
    int i = 1, count = 1,d;
    for(i = 1; L->length > 1;)
    {
        if(count == 5)
        {
            count = 1;
            d = delete_menber(L,i);
            printf("第 %d 号去执行任务\n", d );
        }
        else
        {
            count++;
            i++;
        }
        if(i > L->length)
        {
            i = 1;
        }
    }
}

int main()
{
    SqListPtr L = (SqListPtr)malloc(sizeof(SqList));
    init_sql(L);
    
    performTask(L);
    printf("最后剩下的人 %d 号\n",L->elem[1]);
    
    return 0;
}

方法二：

解法二(From Net)：
      思想：归纳为数学性问题。原文说的很好，还是直接Copy吧，因为搜索半天也没有找到原作者，所以无法添加引用地址了，如果这位大哥看到这里，请告知与我，小弟立刻加入引用链接:)

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
  k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：

k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：

#include <stdio.h>
 int main()
 {
     int n, m, i, s = 0;
     printf ("N M = ");
     scanf("%d%d", &n, &m);
     for (i = 2; i <= n; i++)
     {
         s = (s + m) % i;
     }
     printf ("\nThe winner is %d\n", s+1);
 }