数据结构1.2-单调队列

一、简述

本节介绍一下单调队列及其一些应用。

二、单调队列

单调队列就是队列元素满足单调性的一类数据结构，主要用于解决滑动窗口类的问题，即维护一个区间的最值，在应用时时间复杂度是 $O(n)$ 的。

一般的，如果我们维护区间的最小值，那么维护的队列是单调递增的；如果是维护区间的最大值，那么队列是单调递减的。

三、例题

1.[AcWing154.滑动窗口]

题目描述

给定一个大小为 $n\le {10}^6$ 的数组。

有一个大小为 $k$ 的滑动窗口，它从数组的最左边移动到最右边。

你只能在窗口中看到 $k$ 个数字。

每次滑动窗口向右移动一个位置。

以下是一个例子：

该数组为 [1 3 -1 -3 5 3 6 7]，$k$ 为 $3$。

窗口位置	最大值	最小值
[1 3 -1] -3 5 3 6 7	3	-1
1 [3 -1 -3] 5 3 6 7	3	-3
1 3 [-1 -3 5] 3 6 7	5	-3
1 3 -1 [-3 5 3] 6 7	5	-3
1 3 -1 -3 [5 3 6] 7	6	3
1 3 -1 -3 5 [3 6 7]	7	3

你的任务是确定滑动窗口位于每个位置时，窗口中的最大值和最小值。

输入格式

输入包含两行。

第一行包含两个整数 $n$ 和 $k$，分别代表数组长度和滑动窗口的长度。

第二行有 $n$ 个整数，代表数组的具体数值。

同行数据之间用空格隔开。

输出格式

输出包含两个。

第一行输出，从左至右，每个位置滑动窗口中的最小值。

第二行输出，从左至右，每个位置滑动窗口中的最大值。

输入样例

8 3
1 3 -1 -3 5 3 6 7

输出样例

-1 -3 -3 -3 3 3
3 3 5 5 6 7

解题思路

这是单调队列的模板题。

以求最小值为例。我们用队列维护一个单调递增的队列。从前往后遍历序列，首先队列非空并且队尾元素大于等于当前元素，那么一直弹出队尾，为什么？因为我们要维护最小值，队列中的元素都在区间内，那么当前元素更小，那么队列中比它大的元素一定不会是二者所在区间的最小值，所以要弹出。然后将当前元素入队。如果说队头元素不在区间内了，那么队头要弹出。最后队头就是就是区间最小值。

最大值类似。

C++代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int n, k;
int q[N], a[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 1; i <= n; i ++) 
        scanf("%d", &a[i]);
    int hh = 0, tt = -1;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        while (hh <= tt && a[q[tt]] >= a[i])
            tt --;
        q[++ tt] = i;
        if (q[hh] + k - 1 < i)
            hh ++;
        if (i >= k) printf("%d ", a[q[hh]]);
    }
    printf("\n");
    hh = 0, tt = -1;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        while (hh <= tt && a[q[tt]] <= a[i])
            tt --;
        q[++ tt] = i;
        if (q[hh] + k - 1 < i) 
            hh ++;
        if (i >= k) printf("%d ", a[q[hh]]);
    }
    return 0;
}

2.[Daimayuan Online Judge.最大连续区间和]

题目描述

给你 $n$ 个数字 $a_1,a_2,...,a_n$ 和两个整数 $l,r$，你需要在 $a_1,a_2,...,a_n$ 中选出一段连续的区间满足区间长度 $\in [l,r]$ 并且区间内的数字的和最大。

请求出满足条件的最大连续区间和。

输入格式

第一行三个整数 $n,l,r$。

接下来一行 $n$ 个整数 $a_1,a_2,...,a_n$。

输出格式

输出一行一个数，表示答案。

数据范围

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，保证 $1\le l\le r\le n\le {10}^5,-1000\le a_i\le 1000$。

输入样例

6 2 3
-1 3 -3 4 -5 4

输出样例

4

解题思路

首先看到区间和，那么就要想到前缀和。我们固定 $s[i]$，也就是 $\sum _{k=1}^{i}a[k]$，然后区间长度为 $[l,r]$，那么也就是考虑 $s[i+l-1]$ 至 $s[i+r-1]$，那么 $s[x]$ 也就在这之间，有 $x\in [i+l-1,i+r-1]$。我们要在这个区间内找到 $s[x]$ 的最大值。

C++代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;

int n, l, r;
int a[N], s[N]; 
int q[N], hh = 0, tt = -1;

int main()
{
	scanf("%d%d%d", &n, &l, &r);
	for (int i = 1; i <= n; i ++)
	{
		scanf("%d", &a[i]);
		s[i] = s[i - 1] + a[i];
	}
	int x = l, res = - (1 << 30);
	for (int i = 1; i + l - 1 <= n; i ++)
	{
		while (x <= i + r - 1 && x <= n) 
		{
			while (hh <= tt && s[q[tt]] <= s[x])
				tt --;
			q[++ tt] = x;
			x ++;
		}
		if (q[hh] < i + l - 1)
			hh ++;
		res = max(res, s[q[hh]] - s[i - 1]);
	}
	printf("%d\n", res);
	return 0;
}

3.[Daimayuan Online Judge.覆盖]

题目描述

在一张网格图中，每一列有且仅有一个格子被小蜗涂了色，第 $i$ 列被涂色的格子的高度为 $a_i$。

现在有一块高度为 $h$ 的长方形幕布（挂在高度 $x$ 的时候能盖住的高度区间为 $[x-h+1,x]$），幕布可以在列方向无限延伸（也就是说幕布的宽度可以是任意值）。请问在固定幕布挂的高度后，这块幕布最多可以覆盖住连续多少列的被涂色的格子？

输入格式

第一行两个整数 $n,h$。

接下来一行 $n$ 个整数 $a_1,a_2,...,a_n$。

输出格式

输出一行一个数，表示答案。

数据范围

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，保证 $1\le n\le {10}^5,1\le h,a_i\le {10}^6$。

输入样例

7 4
1 4 5 3 6 1 4

输出样例

4

解题思路

我们维护一个区间，区间为 $[i,j]$，并且这个区间的最大值和最小值之差小于 $h$，固定左端点，然后尽可能延伸右端点。区间的最值我们用单调队列来维护。然后左端点变为 $i+1$，$[i+1,j]$ 肯定是符合条件的，我们继续延伸 $j$ 即可。注意，要先判断队头是否出队。

C++代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;

int n, h;
int a[N];
int q_max[N], q_min[N];
int hh_max, tt_max = -1;
int hh_min, tt_min = -1;


int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &h);
	for (int i = 1; i <= n; i ++)
		scanf("%d", &a[i]);
	int j = 0, ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i ++)
	{
		if (hh_max <= tt_max && q_max[hh_max] < i)
			hh_max ++;
		if (hh_min <= tt_min && q_min[hh_min] < i)
			hh_min ++;
		
		while (j <= n && (j <= i || a[q_max[hh_max]] - a[q_min[hh_min]] <= h))
		{
			j ++;
			if (j > n) 
				break;

			while (hh_max <= tt_max && a[q_max[tt_max]] <= a[j])
				tt_max --;
			q_max[++ tt_max] = j;
			while (hh_min <= tt_min && a[q_min[tt_min]] >= a[j])
				tt_min --;
			q_min[++ tt_min] = j;
		}
		ans = max(ans, j - i);
	}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}