CF1851F - Lisa and the Martians

题目描述

Lisa was kidnapped by martians! It okay, because she has watched a lot of TV shows about aliens, so she knows what awaits her. Let's call integer martian if it is a non-negative integer and strictly less than $2^k$ , for example, when $k = 12$ , the numbers $51$ , $1960$ , $0$ are martian, and the numbers $\pi$ , $-1$ , $\frac{21}{8}$ , $4096$ are not.

The aliens will give Lisa $n$ martian numbers $a_1, a_2, \ldots, a_n$ . Then they will ask her to name any martian number $x$ . After that, Lisa will select a pair of numbers $a_i, a_j$ ( $i \neq j$ ) in the given sequence and count $(a_i \oplus x) \& (a_j \oplus x)$ . The operation $\oplus$ means Bitwise exclusive OR, the operation $\&$ means Bitwise And. For example, $(5 \oplus 17) \& (23 \oplus 17) = (00101_2 \oplus 10001_2) \& (10111_2 \oplus 10001_2) = 10100_2 \& 00110_2 = 00100_2 = 4$ .

Lisa is sure that the higher the calculated value, the higher her chances of returning home. Help the girl choose such $i, j, x$ that maximize the calculated value.

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solution

1、分析

对于公式 $t = (a_i \oplus x) \& (a_j \oplus x)$ 来讲，其中 $a_i \& a_j$ 是一个固定的答案，$\oplus x$ 只是对这个答案的调解。

对于 $a_i$ 与 $a_j$ 二进制的第 $k$ 位。

• 假设均为 $1$，那么 $x$ 的该位置上应该为 $0$，以确保 $t$ 的第 $k$ 为也为 $1$，使得答案最优。

• 假设均为 $0$，那么 $x$ 的该位置上应该为 $1$，以确保 $t$ 的第 $k$ 为也为 $1$，使得答案最优。

• 如果第 $k$ 位上的值不相等，那么不管怎么异或，它们的第 $k$ 上永远是 $0 , 1$，最终答案的第 $k$ 位也一定为 $0$。

2、最大值（答案）

对于每个 $i$ 来讲，$0$ 的个数是固定的。

那么，就要找到一个每一位上不相同的数最小的数作为 $j$，即 $d = a_i \oplus a_j$ 的最小值。

就能使得 $a_i$ 作为其中答案的最大值。

考虑到最终答案为 $d \oplus 2 ^ { k }$ 的形式，所以求全局最小值即可。

这个地方用 01trie 解决即可。

3、$x$ 的值

既然已经求得了最终的答案，那么按照 $1$ 中所讲，只将 $a_i , a_j = 0$ 的位置设为 $1$ 即可。

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code

scanf("%d%d", &n, &k);
for (int i = 1, j; i <= n; i ++ ) {
    scanf("%d", &a[i]);
    j = query_min(a[i]); // 查询 min{a[i]^a[j]} 的j的编号
    if (j != -1 && ans >= (res = a[j] ^ a[i])) {
        ans = res; xi = i; xj = j;
    }
    insert(i);
}
x = (~(a[xi] | a[xj])) & ((1 << k) - 1);
cout << xj << ' ' << xi << ' ' << x << '\n';