CF1442D-Sum

Sum

You are given $n$ non-decreasing arrays of non-negative numbers.

Vasya repeats the following operation $k$ times:

• Selects a non-empty array.
• Puts the first element of the selected array in his pocket.
• Removes the first element from the selected array.

Vasya wants to maximize the sum of the elements in his pocket.

solution

1、通过微调。

首先在最终状态下，假设数组 $a,b$ 中的元素分别被取到了 $i,j$（并没有取完），且 $a_{i} \leq b_{j}$。

由于数组内元素不降的性质，可以得知 $a_{i-1} \leq a_{i}$，那么 $a_{i-1}\leq b_{j}$。

可以之前发现取 $a_{i-1}$ 是不一定比 $b_{j}$ 优的。

因此可以得到一条结论：在最终状态下，最多只会存在一个数组 $x$ 被取了部分。

2、冻柜

对于其他的数组，要么不选，要么全选。

那么就可以将其转化为 $n$ 个具有大小、价值的物品，进行 $01$ 背包。

枚举那个被取了部分的数组 $x$，枚举数组 $x$ 被取出的元素的个数，时间复杂度为 $n^2k$ 的。

3、分治优化

令 $m = \left\lfloor\frac{l+r}{2}\right\rfloor$。

在位于 $[l,m]$ 中的数组 $x$，都需要来自 $(m,r]$ 的数组的 dp 值。

那么对于 $[l,m]$ 中的数组 $x$，可以将 $(m,r]$ 的 dp 值预处理出来。

该过程可以递归操作，直到 $l=r$ 的时候，对于第 $l$ 个数组，需要的 dp 值是都已经求出来的。

时间复杂度降到 $kn\log_2n$。

code

点击查看代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

vector<long long> a[3010];
long long dp[3010], sum[3010], len[3010], n, k;

long long DFS(int l, int r)
{
    if (l == r) {
        long long res = 0, ans = -1;
        for (int i = 0; i <= min(k, len[l]); i ++ ) {
            ans = max(ans, dp[k - i] + res);
            if (i < len[l]) res += a[l][i];
        }
        return ans;
    }
    long long f[3010], mid = (l + r) >> 1, ans = -1;
    memcpy(f, dp, sizeof(dp));

    // 对于[l,mid]的数组，预处理(mid,r]的dp值
    for (int i = mid + 1; i <= r; i ++ ) 
        for (int j = k; j >= len[i]; j -- ) 
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - len[i]] + sum[i]);
    ans = max(ans, DFS(l, mid)); // 递归
    memcpy(dp, f, sizeof(f));
    
    for (int i = l; i <= mid; i ++ )
        for (int j = k; j > len[i]; j -- )
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - len[i]] + sum[i]);
    ans = max(ans, DFS(mid + 1, r));
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld", &n, &k);
    for (int i = 1, x; i <= n; i ++ ) {
        scanf("%lld", &len[i]);
        for (int j = 1; j <= len[i]; j ++ ) {
            scanf("%lld", &x);
            a[i].push_back(x); sum[i] += x;
        }
    }
    printf("%lld", DFS(1, n));
    return 0;
}