Prüfer 序列

目录

• Prüfer 序列
  • 将一颗树转化为 Prüfer 序列
    • 过程
    • 线性做法 & 过程
    • 性质
  • Prüfer 序列将转化为一颗树
    • 过程
    • 线性做法 & 过程
  • 性质

Prüfer 序列

Prüfer 序列是将一颗 $n$ 个有标号的点用一个长度为 $n-2$ 的序列的表示的方法。

对于一颗有标号的树，会存在唯一一个 Prüfer 序列与之对应。一个 Prüfer 序列也只会对应一颗树。

将一颗树转化为 Prüfer 序列

首先对于所有的叶子节点（此时为 $1,2,4,6$），选择其编号最小的节点删掉。然后将其父亲节点加入 Prüfer 序列中。

在重复经过 $n-2$ 次操作后，剩余了 $2$ 个点，构造结束。

过程

对于一颗有标号的树：

图片取自 oi wiki

显而易见地是，1. 可以用一个小根堆来维护所有的叶子节点。

2. 每次取出堆中最小的元素删除。

3. 在每次删除节点后，判断它的父亲节点是否成为叶子节点，如果是，加入堆中。

4. 重复操作，直至还剩 $2$ 个节点。

for(int i=1;i<n;i++) {
	cin>>u>>v;
    addedge(u,v); addedge(v,u);
	d[u]++; d[v]++;
}
for(int i=1;i<=n;i++) {
    if(d[i]==1) q.push(i);
}
for(int i=1;i<=n-2;i++) {
	int u=q.top(), v; q.pop();
    vis[u]=true;
    for(int k=hd[u];i;i=nxt[i]) {
        if(!vis[to[i]]) v=to[i];
    }
	if(--d[v]==1) q.push(v);
}
for(int i=1;i<=n-2;i++) cout<<p[i]<<' ';

这样的做法的时间复杂度是 $\text O(n\log_2n)$ 的。

线性做法 & 过程

通过维护一个指针 $p$，初始时 $p$ 指向编号最小的叶子节点，然后

1. 将 $p$ 指向的节点删掉。判断与这个节点相连的节点是否成为叶子节点。
2. 如果是，判断该节点的编号 $x$ 是否大于 $p$ 所指向的节点编号。如果大于，不做操作，否则，将节点 $x$ 删掉，并判断与这个节点相连的节点是否成为叶子节点。重复操作 $2$ 直至无法操作。
3. 将指针 $p$ 自增，直至到一个未被删掉的节点。

性质

可以发现，在 Prüfer 序列中，每个点 $u$ 的出现次数是其点的度数 $d_u-1$ 。

1. 对于叶子节点，一定不会存在 Prufer序列中。

2. 对于非叶子节点 $u$，在节点 $u$ 被删掉前，会有与之相连的 $d_u-1$ 的节点会被删掉（其原因是在构造 Prufer序列的过程中树是联通的，且树大小始终不小于 $2$），在这个过程中，节点 $u$ 就会被加入 Prufer序列 $d_u-1$ 次。

由此也可以知道 $\sum_{i=1}^{n}(d_u-1)=n-2$。

3. 剩下的 $2$ 个节点中，其中一个是编号最大的节点，且它绝对不会计入叶子节点中。

Prüfer 序列将转化为一颗树

过程

考虑将上述转化的过程，重复一遍。

1. 对于 Prüfer 序列的第一个数 $u$ ，和它相连的节点 $v$ 一定是叶子节点中编号最小的。将 $u$ 与 $v$ 连边。

2. 那么维护一个叶子节点集合 $S$，将这个编号最小的节点 $v$ 删掉。

3. 此时将 Prüfer 序列的第一个数也删掉，由于叶子节点在 Prüfer 序列的出现次数为 $d-1=0$，那么如果这个数在 Prüfer 序列中的出现次数变为 $0$ 的话，节点 $u$ 变为叶子节点，加入集合 $S$ 中。

4. 重复该过程 $n-2$ 次。

5. 最终在集合 $S$ 中会存在 $1$ 个节点，将其和最大节点连接即可。

for(int i=1;i<=n-2;i++) {
    cin>>p[i]; d[p[i]]++;
}
for(int i=1;i<=n;i++) {
    if(!d[i]) q.push(i);
}
for(int i=1;i<=n-2;i++) {
	int u=q.top(); q.pop();
	addedge(p[i],u); addedge(u,p[i]);
	if(--d[p[i]]==0) q.push(p[i]);
}
addedge(n,q.top()); addedge(q.top(),n);

这个过程也可以使用堆维护，当然也存在线性做法。

线性做法 & 过程

同样是维护一个指针指向叶子节点中的编号最小的节点。

性质

1. 无向完全图的不同生成树数（Cayley公式）

对于一个 $n$ 个点的无向完全图，任意一个长度为 $n-2$ 的 Prüfer 序列都可以构造出一个不同的具有 $n$ 个点的树。

所以讲，会有 $n^{n-2}$ 个不同的 Prüfer 序列构成 $n$ 个点的树，那么无向完全图的不同生成树数也就是 $n^{n-2}$ 个。

2. $n$ 个点无根树计数，且已知每个点的点度。

由于每个点在 Prüfer 序列中的出现次数为 $d_i-1$，所以可以利用组合知识求出。

$$\binom{n-2}{b_1-1}\cdot\binom{(n-2)-(b_1-1)}{b_2-1}\cdots\binom{b_n-1}{b_n-1}$$

展开可以得到

$$\frac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^{n}(b_i-1)}$$