背包问题 V3（ $01$ 分数规划入门题）
附赠题目链接：\(\text{51Nod-1257}\)
\(\text{description}\)
\(n\) 个物品的体积为 \(w_1,w_2,\cdots,w_n\)（\(w_i\) 为整数），与之相对应的价值为 \(p_1,p_2,\cdots,p_n\)（\(p_i\) 为整数），从中选出 \(k\) 件物品（\(k\le n\)），使得单位体积的价值最大。
\(\text{sol}\)
对于题目中的单位体积的价值可以理解为：
\[\max\left\{\frac{\sum_{i=1}^{k}p_i}{\sum_{i=1}^{k}w_i}\right\}
\]
其中 \(p_i\) 的选取同时会影响到分子和分母的大小，从而影响最终答案，因此无法进行贪心选择。
通过 \(01\) 分数规划解决问题，将原本的问题进行转换。
首先令答案为 \(x\)，那么有 \(x=\left(\sum_{i=1}^{k}p_i\right){/}\left(\sum_{i=1}^{k}w_i\right)\)。
将其修改得到其变式为
\[\sum_{i=1}^{k}p_i-x\sum_{i=1}^{k}w_i=0
\]
那么就是说这个答案 \(x\) 是一定存在一个方案使得上述式子为 \(0\)。
由此，假如一个 \(x'\) 使得上述公式的最大值大于 \(0\) 的话，就表示还有更优的答案 \(x\)，相反同理。
那么就可以考虑二分答案，将每个物品的权值看作 \(p_i-x\times w_i\)。
这时候我们只需要选择 \(k\) 个数，判断其最大值是否大于 \(0\) 即可，此时可以选择贪心求解。
\(\text{CODE}\)
//
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const double eps = 1e - 5;
double l, r, d[100100], tmp;
int a[100100], b[100100], tmpk[100100];
int tmpp, tmpq, n, k, fq, fp, fk;
int gcd(int a,int b) {
while(b^=a^=b^=a%=b);
return a;
}
bool check(double x) {
tmp = 0.00; tmpp = tmpq = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
d[i] = 1.00 * a[i] - 1.00 * b[i] * x;
tmpk[i] = i;
}
sort(tmpk + 1, tmpk + 1 + n, [](int x,int y) {
return d[x] > d[y];
});
for (int i = 1; i <= k; i ++ ) {
tmp += d[tmpk[i]]; tmpq += a[tmpk[i]]; tmpp += b[tmpk[i]];
}
return tmp >= eps;
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &k);
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
scanf("%d%d", &b[i], &a[i]);
}
l = 0.00; r = 100000.00;
while (r - l > eps) {
double mid = (l + r) / 2.00;
if (check(mid)) {
l = mid;
fq = tmpq; fp = tmpp;
}
else r = mid;
}
fk = gcd(fq, fp);
printf("%d/%d", fq / fk, fp / fk);
return 0;
}
\(\text{Else}\)
在判断二分的答案是否合法的时候，有时候需要选择不只是贪心的其他方法，例如：动规等。
同样的是一道入门题：Dropping tests
涉及到树上问题的 \(01\) 规划：规划
