背包问题 V3（ $01$ 分数规划入门题）

附赠题目链接：$\text{51Nod-1257}$

目录

• $\text{description}$
• $\text{sol}$
• $\text{CODE}$
• $\text{Else}$

$\text{description}$

$n$ 个物品的体积为 $w_1,w_2,\cdots,w_n$（$w_i$ 为整数），与之相对应的价值为 $p_1,p_2,\cdots,p_n$（$p_i$ 为整数），从中选出 $k$ 件物品（$k\le n$），使得单位体积的价值最大。

$\text{sol}$

对于题目中的单位体积的价值可以理解为：

$$\max\left\{\frac{\sum_{i=1}^{k}p_i}{\sum_{i=1}^{k}w_i}\right\}$$

其中 $p_i$ 的选取同时会影响到分子和分母的大小，从而影响最终答案，因此无法进行贪心选择。

通过 $01$ 分数规划解决问题，将原本的问题进行转换。

首先令答案为 $x$，那么有 $x=\left(\sum_{i=1}^{k}p_i\right){/}\left(\sum_{i=1}^{k}w_i\right)$。

将其修改得到其变式为

$$\sum_{i=1}^{k}p_i-x\sum_{i=1}^{k}w_i=0$$

那么就是说这个答案 $x$ 是一定存在一个方案使得上述式子为 $0$。

由此，假如一个 $x'$ 使得上述公式的最大值大于 $0$ 的话，就表示还有更优的答案 $x$，相反同理。

那么就可以考虑二分答案，将每个物品的权值看作 $p_i-x\times w_i$。

这时候我们只需要选择 $k$ 个数，判断其最大值是否大于 $0$ 即可，此时可以选择贪心求解。

$\text{CODE}$

//
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const double eps = 1e - 5;
double l, r, d[100100], tmp;
int a[100100], b[100100], tmpk[100100];
int tmpp, tmpq, n, k, fq, fp, fk;

int gcd(int a,int b) {
    while(b^=a^=b^=a%=b);
    return a;
}

bool check(double x) {
    tmp = 0.00; tmpp = tmpq = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        d[i] = 1.00 * a[i] - 1.00 * b[i] * x;
        tmpk[i] = i;
    }
    sort(tmpk + 1, tmpk + 1 + n, [](int x,int y) {
        return d[x] > d[y];
    });
    for (int i = 1; i <= k; i ++ ) {
        tmp += d[tmpk[i]]; tmpq += a[tmpk[i]]; tmpp += b[tmpk[i]];
    }
    return tmp >= eps;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        scanf("%d%d", &b[i], &a[i]);
    }
    l = 0.00; r = 100000.00;
    while (r - l > eps) {
        double mid = (l + r) / 2.00;
        if (check(mid)) {
            l = mid;
            fq = tmpq; fp = tmpp;
        }
        else r = mid;
    }
    fk = gcd(fq, fp);
    printf("%d/%d", fq / fk, fp / fk);
    return 0;
}

$\text{Else}$

在判断二分的答案是否合法的时候，有时候需要选择不只是贪心的其他方法，例如：动规等。

同样的是一道入门题：Dropping tests

涉及到树上问题的 $01$ 规划：规划