数

组合数

常用公式

\[\binom{n}{m}=\frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}=\frac{\frac{n!}{(n-m)!}}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\binom{n-1}{m-1}+\binom{n-1}{m}=\binom{n}{n-m} \]

\[展开式:\binom{n+m}{k}=\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}\cdot\binom{m}{k-i} \]

组合数与二次项系数

组合系数 \(\tbinom{n}{m}\) 又常称为二项式系数，在一个二项式展开的公式中：

\[(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\cdot a^{i}b^{n-i} \]

当 \(a=1\) 且 \(b=1\) 时，可以得到公式：

\[\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\dots+\binom{n}{n}=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}=2^n \]

当 \(a=1\) 且 \(b=-1\) 时，可以得到公式：

\[\binom{n}{0}-\binom{n}{1}+\dots+(-1)^n\binom{n}{n}=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}\cdot\binom{n}{i}=0 \]

变换

\[\binom{n+m}{r}=\sum_{i=0}^{r}\binom{n}{i}\binom{m}{r-i} \]

\[\sum_{j=0}^{n}\binom{j}{m}=\binom{n+1}{m+1} \]

错排数

\[D(n)=(n-1)\times(D(n-1)+D(n-2)) \]

斯特林数

斯特林轮换数

\[{n \brack m}={n \brack m-1}+(n-1){n-1 \brack m} \]

\[n!=\sum_{i=0}^{n}{n\brack i} \]

斯特林子集数

\[{n \brace m}={n \brace m-1}+m{n-1 \brace m}=\sum_{i=0}^{m}\frac{(-1)^{m-i}i^n}{i!(m-i)!} \]