[NOIP2013 普及组] 车站分级-题解

题目简述：一条单向的铁路线上，依次有编号为 $1, 2, …, n$的 $n$个火车站。每个火车站都有一个级别，最低为 $1$ 级。现有若干趟车次在这条线路上行驶，每一趟都满足如下要求：如果这趟车次停靠了火车站 $x$，则始发站、终点站之间所有级别大于等于火车站$x$ 的都必须停靠。（注意：起始站和终点站自然也算作事先已知需要停靠的站点）

现有 $m$ 趟车次的运行情况（全部满足要求），试推算这 $n$ 个火车站至少分为几个不同的级别。

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若存在该车次 $1,2$，

对于车次 $1$：车站 $2,4$ 的级别一定小于车站 $1,3,5,6$ 的级别的最大值；

对于车次 $2$：车站 $4$ 的级别一定小于车站 $3,5,6$ 的级别的最大值；否则车站的划分级别将不成立。

由此，我们可以将这 $6$ 个车站进行划分

这样的话，令 $2,4$ 的级别为最小的 $1$，则 $1,3,5,6$ 就为 $2$。

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若增加车次 $3$，

则有新的划分方式，其中 $2,3,4,6,7,8$ 一定小于 $1,5,9$ 的级别的最大值。

我们发现这已经很明显的分出来了级别，$3$ 就是其答案。

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建模：

对于每班车，也只是会影响在这班车的终点站和起点站之间（包含）的车站的级别。

我们将一定小于（到达的车站的级别）的车站^[1]向到达的车站进行连边，然后得到其最深的节点的深度。

由于此图是一个 $\text{DAG}$，所以利用 拓扑+DP 的方式解决。

（另外，你也可以使用一些高端的数据结构或其他，来优化这个 $O(n^2m)$ 的建图。）

用 $-1$ 代替了 $3,6,7,8$ 四个点，否则这个图就太麻烦了。

其中 $7$ 与 $8$ 的位置不会对答案产生影响，因为题目对其的限制较小，但由于题目中并没有说到 $7,8$ 小于 $3,6$ 的情况，所以分级是上图 $1$ 的情况。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1010, inf = 1e9 + 7;
int n, m, s, ans, d[N], in[N], f[N];
bool vis[N], g[N][N];
queue <int> q;

int main()
{
	cin >> n >> m; 
	for (int i = 1; i <= m; ++ i)
	{
		cin >> s;
		for (int j = 1; j <= s; ++ j)
		{
			cin >> d[j]; 
			vis[d[j]] = true;
		}
		for (int j = d[1]; j <= d[s]; ++ j)
		{
			if (! vis[j])
			{
				for (int k = 1; k <= s; ++ k)
				{
					if (!g[j][d[k]]) 
					{
						++ in[d[k]];
					}
					g[j][d[k]] = true;
					
				}
			}
		}
		for (int i = 1; i <= n; ++ i)
		{
			vis[i] = false;
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++ i)
	{
		f[i] = -inf;
		if (in[i] == 0)
		{
			q.push(i);
			f[i] = 1;
		}
	}
	while (!q.empty())
	{
		int u = q.front();
		q.pop();
		for (int v = 1; v <= n; ++ v) 
		{
			if (g[u][v] && in[v])
			{
				f[v] = max(f[v], f[u]+1);
				in[v] --;
				if (in[v] == 0)
				{
					q.push(v);
				}
			}
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++ i)
	{
		ans = max(ans, f[i]);
	}
	cout << ans << '\n';
	return 0;
}

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1. 指的是这班车所跨域的车站中的。 ↩︎