对于 组合数 取模的各种情况

1、当 $n,m\le1000$，$p$ 为任意数时

可以使用暴力（$\text{O}(n^2)$）求解 杨辉三角 的方式，计算

$$\binom{n}{m} = \binom{n-1}{m-1}\sdot\binom{n-1}{m}$$

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2、当 $n,m\le 10^6$，$p\approx 10^9$ 且 $p$ 为素数时

利用公式

$$\binom{n}{m} =\dfrac{n!}{m!(n-m)!}\bmod p$$

$\text O(n)$ 预处理阶乘，然后求逆元。

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3、当 $n\le 10^6$，$m\le 1000$，$p$ 为任意数时

$$\binom{n}{m} =\dfrac{n!}{m!(n-m)!}=\dfrac{n\times(n-1)\times\dots(n-m+1)}{1\times 2\times 3\times \dots\times m}$$

因为组合数一定为整数，然后可以尝试约分，得到

$$\binom{n}{m} = x_1\times x_2\times x_3\times\dots\times x_m$$

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4、当 $n,m\le 10^9$，$p\le 1000$ 且 $p$ 为素数时

因为 $p$ 的范围较小，且 $p$ 为素数，考虑 Lucas定理 求解，

$$\binom{n}{m}\bmod p= \binom{\left\lfloor n/p\right\rfloor}{\left\lfloor m/p\right\rfloor}\cdot\binom{n\bmod p}{m\bmod p}\bmod p$$