卢卡斯定理

对于解决组合数取模求解时，可以使用 卢卡斯（Lucas）定理 的内容解决。

当数据范围不大时，我们可以使用 1. 递推公式；2. 预处理阶乘 \(\dots\) 的许多方法进行。

但当 \(n,m\le 10^9\)，\(p\le 1000\) 且 \(p\) 为素数的时候，以上的方法都会用不了了。

Lucas 定理

内容

卢卡斯定理的内容为：对于任意 \(p\) 为素数，有

\[\binom{n}{m}\bmod p= \binom{\left\lfloor \tfrac{n}{p}\right\rfloor}{\left\lfloor \tfrac{m}{p}\right\rfloor}\cdot\binom{n\bmod p}{m\bmod p}\bmod p \]

1. 因为要求出 \(\binom{n\bmod p}{m\bmod p}\) 的值，所以用到 Lucas 定理 的时候，要保证 \(p\) 的范围不能太大。

2. 其中 \(\binom{\left\lfloor n/p\right\rfloor}{\left\lfloor m/p\right\rfloor}\bmod p\) 可以使用 Lucas定理 继续求解，直到边界条件 \(m = 0\) 返回 \(1\)。

int Lucas(int n, int m)
{
	if (m == 0) return 1;
	return Lucas(n/p, m/p)*C(n%p, m%p)% p; 
}

特别地

卢卡斯定理，也可以理解为：

将 \(n\) 与 \(m\) 转换为两个 \(p\) 进制数，然后对 这两个 \(p\) 进制数的相同的位的数，进行组合数取模，然后相乘。

\[\binom{n}{m}\bmod p= \prod_{i=1}^{k}\binom{n_{(p)_i}}{m_{(p)_i}}\bmod p \]

int lucas(int n,int m)
{
    x[0]=y[0]=0;
    int ans=1;
    while(n){x[++x[0]]=n%p; n/=p;}
    while(m){y[++y[0]]=m%p; m/=p;}
    for(int i=1;i<=max(x[0],y[0]);i++){
        ans=ans*C[x[i]][y[i]]%p;
    }
    return ans;
}

剩余的

1. 相对于其他知识来说，Lucas定理也存在 ExLucas定理，用于求解 \(p\) 不为素数的情况。
2. 卢卡斯定理的证明。