素数判定
素数定理：\(\pi(x) = \frac{x}{\ln(x)}\)，即不超过 \(x\) 的素数的个数接近于 \(\frac{x}{\ln(x)}\)。
另外，本文章参考自OI-wiki，为自用。
素数判定
朴素的质数判断
判断一个数 \(x\) 是否为素数，从素数的定义（大于1的整数中，只能被1和这个数本身整除的数）得出方法，又因为若 \(i\) 是 \(x\) 的因数，那么 \(\frac{x}{i}\) 也一定是 \(x\) 的因数，所以枚举 \(2-\sqrt{n}\) 的有可能是 \(x\) 的因数的数。
bool isPrime(int x)
{
int n = sqrt(x);
for (int i = 2; i <= n; ++ i)
{
if (x % i == 0) return false;
}
return true;
}
Fermat素性测试 与 Miller-Rabin素性测试
素性测试的定义与分类
素性测试(Primality test）是一类在 不对给定数字进行素数分解（prime factorization）的情况下，测试其是否为素数的算法。
素性测试有两种：
确定性测试：绝对确定一个数是否为素数。常见示例包括 Lucas-Lehmer 测试和椭圆曲线素性证明。
概率性测试：通常比确定性测试快很多，但有可能（尽管概率很小）错误地将 合数 识别为质数（尽管反之则不会）。因此，通过概率素性测试的数字被称为 可能素数，直到它们的素数可以被确定性地证明。而通过测试但实际上是合数的数字则被称为 伪素数。有许多特定类型的伪素数，最常见的是费马伪素数，它们是满足费马小定理的合数。概率性测试的常见示例包括 Miller–Rabin 测试。
Fermat素性测试
由 费马小定理 可知，当 \(p\) 为素数时，有 \(a^{p-1}\equiv1\pmod p\)。
那么假设：一个与 \(p\) 互质的数 \(a\) 满足 \(a^{p-1}\equiv1\pmod p\)，那么这个数 \(p\) 就为素数。
但是，这个假设并不成立，有些合数也会满足这个假设，例如：\(341 = 11\times 13\) 且 \(2^{340}\equiv1\pmod {341}\)。
如果 \(a^{p-1}\equiv1\pmod p\) 但 \(p\) 不是素数，则 \(p\) 被称为以 \(a\) 为底的 伪素数。事实上，\(341\) 是最小的伪素数基数。
所以说 费马小定理的逆定理 并不成立，即满足 \(p\) 与 \(a\) 互质，且 \(a^{p-1}\equiv1\pmod p\) 的数，不一定是质数。
对于合数 \(p\)，如果对于所有正整数 \(a\)，\(a\) 和 \(p\) 互素，都有同余方程 \(a^{n-1}\equiv1\pmod p\) 成立，则合数 \(p\) 为 卡迈克尔数（Carmichael Number），又称为 费马伪素数。
而且我们知道，若 \(p\) 为卡迈克尔数，则 \(2^p-1\) 也是一个卡迈克尔数，从而卡迈克尔数的个数是无穷的。
int Prime[7] = {2,3,5,7,11,13};
bool Farmet_test(int n)
{
for (int i = 0; i < 6; ++ i)
if (Prime[i] == n) return true;
for (int i = 0; i < 6; ++ i)
if (Pow(Prime[i],n-1,n) != 1)
// a^n \equiv a (mod p)
return false;
return true;
}
Miller-Rabin素性测试
Miller-Rabin 素性测试（Miller–Rabin primality test）是进阶的素数判定方法。它是由 Miller 和 Rabin 二人根据费马小定理的逆定理（费马测试）优化得到的。因为和许多类似算法一样，它是使用伪素数的概率性测试，我们必须使用慢得多的确定性算法来保证素性。然而，实际上没有已知的数字通过了高级概率性测试（例如 Rabin-Miller）但实际上却是复合的。因此我们可以放心使用。(取自OIWIKI)
对数 n 进行 k 轮测试的时间复杂度是 \(O(k\log^3 n)\)，利用 FFT 等技术可以优化到 \(O(k\log^2n\log\log n\log\log\log n)\)。
二次探测定理
若 \(p\) 为奇素数，那么 \(x^2\equiv1\pmod p\) 的解为 \(x\equiv1\pmod p\) 或 \(x\equiv p-1\pmod p\)。
证明：
根据卡迈克尔数的性质，可知其一定不是 \(p^e\)。
我们由 费马小定理 和 二次探测定理 可以将 \(a^{p-1}\) 写作 \((a^{k})^2\) 的形式，再加一次判断 \(a^k\) 是否为 \(1\) 或 \(p-1\)。
如果 \(a^k \equiv 1\pmod p\)，\(a^k\) 又可以写作 \((a^{k-1})^2\)
\(\dots\dots\)
若出现 \(a^{d*2^{r-i}}\equiv p-1\pmod p,\ i\in[0,r)\) 时，\(a^{d*2^{r-i}}\) 完全可以写作 \((a^{d*2^{r-i-1}})^2\)，但是此时不存在一个奇素数 \(p\)，满足 \(a^{d*2^{r-i-1}}\bmod p=1\) 或 \(a^{d*2^{r-i-1}}\bmod p = p-1\)。
那么这个数为 合数。
我们尽可能的将所有的 \(2\) 提出，将 \(a^{p-1}\) 写成 \(a^{d\times 2^t},\ d\in\{2x-1\mid x\in\mathbb{N}\}\) （\(d\) 为奇数）的形式。
这样进行 \(t\) 次实验，\(p\) 不是素数的可能性为 \(\frac{1}{4^t}\)，老祖宗们说。
int Prime[7] = {2,3,5,7,11,13};
int TwiceDetect(int a, int k, int p)
{
int t = 0, x, y;
while (k&1) t ++, k >>= 1;
x = y = Pow(a, k, p);
for (int i = 0; i < t; ++ i)
{
y = Mul(x, x, p);
if (y == 1 && x != 1 && x != p - 1)
return -1;
x = y;
}
return y;
}
bool Miller_Rabin(int n)
{
for (int i = 0; i < 6; ++ i)
if (Prime[i] == n) return true;
for (int i = 0; i < 6; ++ i)
if (TwiceDetect(Prime[i],n-1,n) != 1)
return false;
return true;
}
