素数判定

素数定理：$\pi(x) = \frac{x}{\ln(x)}$，即不超过 $x$ 的素数的个数接近于 $\frac{x}{\ln(x)}$。

另外，本文章参考自OI-wiki，为自用。

素数判定

朴素的质数判断

判断一个数 $x$ 是否为素数，从素数的定义（大于1的整数中，只能被1和这个数本身整除的数）得出方法，又因为若 $i$ 是 $x$ 的因数，那么 $\frac{x}{i}$ 也一定是 $x$ 的因数，所以枚举 $2-\sqrt{n}$ 的有可能是 $x$ 的因数的数。

bool isPrime(int x)
{
	int n = sqrt(x);
	for (int i = 2; i <= n; ++ i)
	{
		if (x % i == 0) return false;
	}
	return true;
}

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Fermat素性测试 与 Miller-Rabin素性测试

素性测试的定义与分类

素性测试(Primality test）是一类在 不对给定数字进行素数分解（prime factorization）的情况下，测试其是否为素数的算法。

素性测试有两种：

1. 确定性测试：绝对确定一个数是否为素数。常见示例包括 Lucas-Lehmer 测试和椭圆曲线素性证明。

2. 概率性测试：通常比确定性测试快很多，但有可能（尽管概率很小）错误地将 合数 识别为质数（尽管反之则不会）。因此，通过概率素性测试的数字被称为 可能素数，直到它们的素数可以被确定性地证明。而通过测试但实际上是合数的数字则被称为 伪素数。有许多特定类型的伪素数，最常见的是费马伪素数，它们是满足费马小定理的合数。概率性测试的常见示例包括 Miller–Rabin 测试。

OI-WIKI

Fermat素性测试

由 费马小定理 可知，当 $p$ 为素数时，有 $a^{p-1}\equiv1\pmod p$。

那么假设：一个与 $p$ 互质的数 $a$ 满足 $a^{p-1}\equiv1\pmod p$，那么这个数 $p$ 就为素数。

但是，这个假设并不成立，有些合数也会满足这个假设，例如：$341 = 11\times 13$ 且 $2^{340}\equiv1\pmod {341}$。

如果 $a^{p-1}\equiv1\pmod p$ 但 $p$ 不是素数，则 $p$ 被称为以 $a$ 为底的 伪素数。事实上，$341$ 是最小的伪素数基数。

所以说 费马小定理的逆定理 并不成立，即满足 $p$ 与 $a$ 互质，且 $a^{p-1}\equiv1\pmod p$ 的数，不一定是质数。

对于合数 $p$，如果对于所有正整数 $a$，$a$ 和 $p$ 互素，都有同余方程 $a^{n-1}\equiv1\pmod p$ 成立，则合数 $p$ 为 卡迈克尔数（Carmichael Number），又称为 费马伪素数。

而且我们知道，若 $p$ 为卡迈克尔数，则 $2^p-1$ 也是一个卡迈克尔数，从而卡迈克尔数的个数是无穷的。

int Prime[7] = {2,3,5,7,11,13};
bool Farmet_test(int n)
{
	for (int i = 0; i < 6; ++ i) 
		if (Prime[i] == n) return true;
	
	for (int i = 0; i < 6; ++ i)
		if (Pow(Prime[i],n-1,n) != 1)
			// a^n \equiv a (mod p)	
			return false;
	
	return true;
}

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Miller-Rabin素性测试

Miller-Rabin 素性测试（Miller–Rabin primality test）是进阶的素数判定方法。它是由 Miller 和 Rabin 二人根据费马小定理的逆定理（费马测试）优化得到的。因为和许多类似算法一样，它是使用伪素数的概率性测试，我们必须使用慢得多的确定性算法来保证素性。然而，实际上没有已知的数字通过了高级概率性测试（例如 Rabin-Miller）但实际上却是复合的。因此我们可以放心使用。(取自OIWIKI)

对数 n 进行 k 轮测试的时间复杂度是 $O(k\log^3 n)$，利用 FFT 等技术可以优化到 $O(k\log^2n\log\log n\log\log\log n)$。

二次探测定理

若 $p$ 为奇素数，那么 $x^2\equiv1\pmod p$ 的解为 $x\equiv1\pmod p$ 或 $x\equiv p-1\pmod p$。

证明：

$$x^2\equiv1\pmod p\\ x^2-1\equiv0\pmod p\\ (x-1)(x+1)\equiv0\pmod p\\ \therefore x\equiv1\pmod p\ 或\ x\equiv p-1\pmod p$$

根据卡迈克尔数的性质，可知其一定不是 $p^e$。

我们由 费马小定理 和 二次探测定理 可以将 $a^{p-1}$ 写作 $(a^{k})^2$ 的形式，再加一次判断 $a^k$ 是否为 $1$ 或 $p-1$。

如果 $a^k \equiv 1\pmod p$，$a^k$ 又可以写作 $(a^{k-1})^2$

$\dots\dots$

若出现 $a^{d*2^{r-i}}\equiv p-1\pmod p,\ i\in[0,r)$ 时，$a^{d*2^{r-i}}$ 完全可以写作 $(a^{d*2^{r-i-1}})^2$，但是此时不存在一个奇素数 $p$，满足 $a^{d*2^{r-i-1}}\bmod p=1$ 或 $a^{d*2^{r-i-1}}\bmod p = p-1$。

那么这个数为 合数。

我们尽可能的将所有的 $2$ 提出，将 $a^{p-1}$ 写成 $a^{d\times 2^t},\ d\in\{2x-1\mid x\in\mathbb{N}\}$ （$d$ 为奇数）的形式。

这样进行 $t$ 次实验，$p$ 不是素数的可能性为 $\frac{1}{4^t}$，老祖宗们说。

int Prime[7] = {2,3,5,7,11,13};
int TwiceDetect(int a, int k, int p)
{
	int t = 0, x, y;
	while (k&1) t ++, k >>= 1;
	x = y = Pow(a, k, p);
	for (int i = 0; i < t; ++ i)
	{
		y = Mul(x, x, p);
		if (y == 1 && x != 1 && x != p - 1)
			return -1;
		x = y;
	}
	return y;
}
bool Miller_Rabin(int n)
{
	for (int i = 0; i < 6; ++ i) 
		if (Prime[i] == n) return true;
	
	for (int i = 0; i < 6; ++ i)
		if (TwiceDetect(Prime[i],n-1,n) != 1)
			return false;
	
	return true;
}