最大公因数 与 最小公倍数

两个数的 最大公因数 $gcd$ 与 最小公倍数 $lcm$ 满足：

$$a\times b = gcd(a,b)\times lcm(a,b)$$

由 欧几里得算法 可以快速的求出 最大公因数，由此可以得到 最小公倍数 的值。

$$lcm(a,b) = \frac{a}{gcd(a,b)}\times b$$

证明：

由唯一分解定理可得：

$$a = p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times p_3^{a_3}\times\dots\times p_{n-1}^{a_{n-1}}\times p_n^{a_n}\\ b = p_1^{b_1}\times p_2^{b_2}\times p_3^{b_3}\times\dots\times p_{n-1}^{b_{n-1}}\times p_n^{b_n}$$

因为 最大公因数 既是 $a$ 的因数也是 $b$ 的因数，$a$ 是 最小公倍数 的因数，$b$ 也是 最小公倍数 的因数，所以：

$$gcd(a,b) = p_1^{\min(a_1,b_1)}\times p_2^{\min(a_2,b_2)}\times p_3^{\min(a_3,b_3)}\times\dots\times p_{n-1}^{\min(a_{n-1},b_{n-1})}\times p_n^{\min(a_n,b_n)}\\ lcm(a,b) = p_1^{\max(a_1,b_1)}\times p_2^{\max(a_2,b_2)}\times p_3^{\max(a_3,b_3)}\times\dots\times p_{n-1}^{\max(a_{n-1},b_{n-1})}\times p_n^{\max(a_n,b_n)}\\ $$

由此可以算出 $gcd(a,b)\times lcm(a,b)$ 与 $a\times b$ 的值，发现：

$$a\times b = gcd(a,b) \times lcm(a,b)$$