欧几里得算法 以及 扩展

欧几里得算法

欧几里得算法（又称：辗转相除法），可以快速求出两个的 最小公倍数。

$$\gcd(a,b)= \begin{cases} a, (b=0)\\ \gcd(b,a\mod b) \end{cases}$$

int gcd(int a, int b)
{
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
//	whlie (b^=a^=b^=a%=b); return a; 
}

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证明：

如果 $x|a$ 且 $x|b$，则 $a = mx, b = nx$。所以 $a - b = mx - nx = (m - n)x$，即 $x|a-b$。
相反，如果 $x|a-b$ 且 $x|b$，则 $a-b = mx, b = nx$。所以 $a - b + b = mx + nx = (m + n)x$，即 $x|a$。

若 $x$ 为 $a$ 与 $b$ 的公因数，那么我们证明了 $(a,b)$ 与 $(a-b,b)$ 的公因数相同。

因为 $(a,b)$ 与 $(a-b,b)$ 的公因数相同，$(a-b,b)$ 与 $(a-b-b,a-b)$ 的公因数相同，所以 $(a-k\times b,b)$ 与 $(a,b)$ 的公因数相同，即 $(a\mod b,b)$ 与 $(a,b)$ 的公因数相同。

因为 $\gcd(a,0)=a$，所以我们有了边界条件。

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其他：

（1）由唯一分解定理，可知 $a\times b = gcd(a,b)\times lcm(a,b),\ \ \ lcm(a,b)=a/gcd(a,b)\times b$。
（2）由于 辗转相除法 与 斐波那契数列 的性质，对两个大的相邻的斐波那契数求最大公倍数是较慢的。（优化辗转相除法）

gcd(a,b) ans=1
1、a,b除以2，直到为奇数为止，记录a,b除以2的次数中较小的那个，记为x。ans*=2^x;
2、新得到的a,b用欧几理德算法。但是每次得到的a%b都要除以2直到为奇数。
3、ans*=b;

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扩展欧几里得算法

求解 不定方程 $ax+by=c$ 的一组可行解，用到扩展欧几里得算法。

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
	if (b == 0)
	{
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	int r = exgcd(b, a%b, y, x);
	y -= a/b*x;
	return r;
}

证明：

由 裴蜀定理 可知，$ax + by = \gcd(a,b)$，所以当且仅当 $c$ 是 $\gcd(a,b)$ 的倍数时，该不定方程才有解。

设：$a>b$

则有 $\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)$

又因为 $ax_1+by_1=\gcd(a,b),\ bx_2+(a\bmod b)y_2=\gcd(b,a\bmod b)$ 可得

$$ax_1+by_1=bx_2+(a\bmod b)y_2\\ ax_1+by_1=bx_2+(a-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor\times b)y_2\\ ax_1+by_1=ay_2+b(x_2-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor y_2)$$

由 恒等定理 可得：$x_1=y_2,\ y1 = x_2-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor y_2$。

特别的，当 $b = 0$ 时 $x = 1, y = 0$。

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应用：
（1）解不定方程 $ax+by=c$，则 $x,y$ 为原方程的一组解,且 $|x|+|y|$ 的值最小。
其他的解为 $x+m*b,y-m*a,m\in\Z$。

int BDFC(int a, int b, int c, int &x, int &y)
{
	int d = exgcd(a, b, x, y);
	if (c%d) return -1;
	int k = c/d;
	x *= k, y *= k;
}

（2）求解线性同余方程（同余方程也可以写为不定方程的形式）。
（3）求模意义下的逆元。