约数个数
唯一分解定理
定义：
任意一个大于 \(1\) 的自然数 \(n\)，如果 \(n\) 不是素数，那么 \(n\) 可以分解为有限个质数的连乘积。如果不计各个素因数的顺序，那么这种分解是惟一的。（又称：算术基本定理），即
\[n=p_{1}^{a_1}\times p_{2}^{a_2}\times p_{3}^{a_3}\times\dots\times p_{k-1}^{a_{k-1}}\times p_{k}^{a_k}
\]
其中，\(p_1<p_2<p_3<\dots<p_{k-1}<p\) 均为质数，其中指数 \(a_i\) 是正整数。这样的分解称为 \(n\) 的标准分解式。
cout << n << '=';
for (int i = 1 ; i * i <= n; i ++ ) {
for (; n%i == 0; n /= i) cout << i << ' ';
}
if (n > 1) cout << n;
性质：
（1）一个大于 \(1\) 的正整数 \(n\)，如果它的标准分解式为 \(n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\dots p_n^{a_n}\)
那么它的 正因数个数 为 $$\sigma_0(n)=(1+a_1)(1+a_2)\dots(1+a_n)=\sum_{d\mid n}1=\sum_{d=1}^{n}\left[d\mid n\right]$$
（2）它的全体 正因数之和 为
\[\sigma_1(n)=(p_1^0+p_1^1+p_1^2\dots p_1^{a_1})(p_2^0+p_2^1+p_2^2\dots p_2^{a_2})\dots (p_n^0+p_n^1+p_n^2\dots p_n^{a_n})=\sum_{d\mid n}d
\]
当 \(\sigma_1(n) = 2n\) 时，称 \(n\) 为完全数。
（3）利用唯一分解定理可以重新定义整数 \(a\) 与 \(b\) 的最大公因数\(\gcd(a,b)\)和最小公倍数\(lcm(a,b)\)，并由此证明
\[a\times b = \gcd(a,b)\times \text{lcm}(a,b)
\]
- 关于 \(n!\) 的分解式中的每个质数的指数的求法：
\[c_i=\sum_{k=1}^{\infty}\left\lfloor\frac{n}{p_i^k}\right\rfloor
\]
所有约数
- 筛约数个数。
vis[1] = true; sum[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i ++ ) {
if (! vis[i]) p[++ p[0]] = i, sum[i] = 2;
for (int j = 1; j <= p[0] && i * p[j] <= n; j ++ ) {
vis[i * p[j]] = true;
if (i % p[j] == 0) {
sum[i * p[j]] = (sum[i] << 1) - sum[i / p[j]];
break;
}
sum[i * p[j]] = sum[i] << 1;
}
}
- 筛约数和。
vis[1] = true; sum[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i ++ ) {
if (! vis[i]) p[++ p[0]] = i, sum[i] = i + 1;
for (int j = 1; j <= p[0] && i * p[j] <= n; j ++ ) {
vis[i * p[j]] = true;
if (i % p[j] == 0) {
sum[i * p[j]] = sum[i] + sum[i] * p[j] - p[j] * sum[i / p[j]];
break;
}
sum[i * p[j]] = sum[i] + sum[i] * p[j];
}
}
