模运算 及 逆元
1、四则运算均可进行取模运算(mod)。
在加法（与乘法相同）的取模运算中，可以写作
但是减法的取模运算，\(-1\bmod 5\) 在计算机中的运算为 \(-1\) ，但正确的结果应为 \(4\) ，所以减法取模为
异或的取模运算
然而除法的取模却大不相同，因为对于
此处引入 逆元 的概念，来解决对于除法的取模问题。
2、在取模意义下的除法——逆元。
概念：单位元 与 逆元
在一个集合中，对于某种运算 *（注意：这里代表通用运算的表示符号，并不是特指乘法），如果对于任何的集合元素 \(a\)，和元素 \(e\) 运算，得到还是集合元素 \(a\) 本身，则称 \(e\) 为这个运算下的单位元。
逆元素(逆元，指一个可以取消另一给定元素运算的元素）在一个集合中，对于某种运算 *，如果任意两个元素的运算结果等于单位元，则称这两个元素互为逆元。
加法的单位元为 \(0\)，其加法逆元为相反数。
乘法的单位元为 \(1\)，其乘法逆元为倒数。
在模运算中，
对于同余方程 \(ax\equiv1\pmod p\) ， 我们称 \(x\) 是 \(a\) 在模 \(p\) 意义下的逆元，其单位元为 \(1(\mod p)\)。
前提：由裴蜀定理（或贝祖定理）可知，当且仅当 \(\gcd(a,p)=1\) 时，\(a\) 在模 \(p\) 的情况下有逆元。
解决取模意义下的除法：\(\div a\pmod p\Longrightarrow \times\ a^{-1}\pmod p\)，即 在模 \(p\) 的意义下，一个数 \(a\) 有逆元除以 \(a\) 。(\(a^{-1}\) 是指 \(a\) 的逆元)
如何求逆元？（如何解决取模意义下的除法？）
答：扩展欧几里得、费马小定理、欧拉定理 . . .
i、扩展欧几里得求逆元
扩展欧几里得是用于求解不定方程 \(ax+by=c\) 的一组解的算法，但对于同余方程 \(ax\equiv1\pmod p\) 也可以写作不定方程的形式：
由此可以求得 \(x\) 的值，即逆元的值。
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if (b == 0)
{
x = 1, y = 0;
return a;
}
int r = exgcd(b, a%b, y, x);
y -= a/b*x;
return r;
}
int Inv(int a, int n)
{
int r, x, y;
r = exgcd(a, n, x, y);
return r==1?(x+n)%n:-1;
}
ii、费马小定理求逆元
费马小定理为：当模数 \(p\) 为质数时，存在
由于 \(a^{p-1}\) 可以写作 \(a\times a^{p-2}\) ，那么存在 \(a\times a^{p-2}\equiv 1\mod p\)，所以 \(a^{p-2}\) 就是 \(a\) 在模 \(p\) 意义下的逆元。
由此可得， \(\ a^{p-2}\equiv a^{-1}\pmod p\)
利用快速幂快速求解 \(a^{p-2}\)。
long long ksm(long long a, long long k)
{
long long ans = 1;
while (k)
{
if (k&1)
ans = (ans * a) %mod;
a = (a * a) %mod;
k >>= 1;
}
return ans;
}
long long Inv(long long a)
{
return ksm(a, p-2);
}
iii、欧拉定理求逆元
在欧拉定理中，对于任意模数 \(m\)，有
其中 \(\phi(m)\) 为欧拉函数：对正整数 \(m\)，欧拉函数是小于或等于 \(m\) 的正整数中与 \(m\) 互质的数的数目。
由此可得，对于任意模数，\(\ a^{\phi(m)-1}\equiv a^{-1}\pmod m\)
iv、线性求逆元
设模数 \(p = k\times i+r,\ \ (k,r\in \mathbb Z)\)，则有 \(p\equiv0\pmod p\)。
所以 \(k\times i+r\equiv0\pmod p\)。
我们将方程两边同乘以 \(inv(i)\times inv(r)\) 得到 \(k\times inv(r)+inv(i)\equiv0\pmod p\)。
因为有 \(p = k\times i+r\)，所以 \(k = \left\lfloor\dfrac{i}{p}\right\rfloor, r = p\bmod i\)
为防止出现负数，写为
int Inv(int p)
{
inv[1] = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++ i)
{
inv[i] = ((p - i/p)*inv[p % i]) %p;
}
}
3、逆元与组合数
因为求组合数 \(C(n,m) = \frac{n!}{m!(n-m)!}\) 的过程中，可能涉及取模的运算，所以组合数就和逆元扯上了联系。
v、阶乘逆元（线性）
在组合数中，
设 \(f(x) = \frac{1}{x!}\)，由此我们将 \(f(i)\times i\) 可以得到 \(f(i)\times i=\frac{1}{(i-1)!}=f(i-1)\)，我们可以解决快速地将 \(i\in[n-1,1]\) 的阶乘求出来、
那么对 \(f(i)\pmod p\) 就是要求其的逆元（通常 \(p\) 为素数），可以用上述 \((\texttt{i}-\texttt{iii})\) 的方法求出。
又因为 \(f(i-1)\pmod p=(f(i)\times i)\pmod p\)，所以可以快速的求出 组合数问题。
