【数学】（nan - 随笔分类 - Ciaxin

数

摘要：# 组合数 ## 常用公式 $$ \binom{n}{m}=\frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}=\frac{\frac{n!}{(n-m)!}}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\binom{n-1}{m-1}+\binom{n-1}{m}=\binom{n}{n 阅读全文

posted @ 2023-06-08 18:04 Ciaxin 阅读(33) 评论(0) 推荐(0) 编辑

欧拉函数

摘要：欧拉函数，

ϕ (n)

$\phi(n)$ 表示为

1

$1$ 到

n

$n$ 中与

n

$n$ 互质的数的个数。令

p_{i}

$p_i$ 为一个质数。 1. 当

n = p_{1}

$n=p_1$ 时，

ϕ (n) = p_{1} - 1

$\phi(n)=p_1-1$ ； 2. 当

n = p_{1}^{2}

$n=p_1^2$ 时，

ϕ (n) = p_{1}^{2} - p_{1} = p_{1} (p_{1} - 1)

$\phi(n)=p_1^2-p_1=p_1(p_1-1)$ ； 3. 当 $n=p 阅读全文

posted @ 2023-06-08 08:18 Ciaxin 阅读(10) 评论(0) 推荐(0) 编辑

对于组合数取模的各种情况

摘要：1、当

n, m \leq 1000

$n,m\le1000$ ，

p

$p$ 为任意数时可以使用暴力（

O (n^{2})

$\text{O}(n^2)$ ）求解杨辉三角的方式，计算

(\binom{n}{m}) = (\binom{n - 1}{m - 1}) \cdot (\binom{n - 1}{m})

$\binom{n}{m} = \binom{n-1}{m-1}\sdot\binom{n-1}{m}$ 2、当

n, m \leq 10^{6}

$n,m\le 10^6$ ，$p\approx 阅读全文

posted @ 2023-01-13 09:04 Ciaxin 阅读(31) 评论(0) 推荐(1) 编辑

卢卡斯定理

摘要：对于解决组合数取模求解时，可以使用 **卢卡斯（Lucas）定理** 的内容解决。当数据范围不大时，我们可以使用 **1. 递推公式；2. 预处理阶乘

\dots

$\dots$ ** 的[许多方法](https://www.cnblogs.com/Cnghit/p/17048526.html)进行。但当 $ 阅读全文

posted @ 2023-01-13 08:46 Ciaxin 阅读(142) 评论(0) 推荐(1) 编辑

中国剩余定理（CRT）及扩展

摘要：[大数翻倍法](https://www.cnblogs.com/Cnghit/p/17145413.html#%E5%A4%A7%E6%95%B0%E7%BF%BB%E5%80%8D%E6%B3%95) ## 中国剩余定理 ### 定义 **中国剩余定理** (Chinese Remainder T 阅读全文

posted @ 2023-01-11 20:07 Ciaxin 阅读(153) 评论(0) 推荐(1) 编辑

素数筛法

摘要：**素数定理**：

π (x) = \frac{x}{\ln (x)}

$\pi(x) = \frac{x}{\ln(x)}$ ，即不超过

x

$x$ 的素数的个数接近于

\frac{x}{\ln (x)}

$\frac{x}{\ln(x)}$ 。 ## 朴素筛 ```cpp void isPrime(int n) { for (int i = 2; i <= n; ++ i) { k = sq 阅读全文

posted @ 2023-01-10 11:58 Ciaxin 阅读(100) 评论(0) 推荐(1) 编辑

大小步算法 BSGS

摘要：### 前提：当你遇到一个形如

a^{x} \equiv b (\mod p), p 为 素 数 且 gcd (a, p) = 1 ， 求 解 x 的 最 小 整 数 解

$a^x\equiv b\pmod p,\ \ p 为素数且 \gcd(a,p)=1，求解 x 的最小整数解$ 的问题时，你可能会苦恼。但是对于条件

p

$p$ 为素数且

gcd (a, p) = 1

$\gcd(a,p)=1$ ，你可能会想到 **费马小定理** 的 $a^{p-1}\eq 阅读全文

posted @ 2023-01-10 09:04 Ciaxin 阅读(45) 评论(0) 推荐(1) 编辑

素数判定

摘要：**素数定理**：

π (x) = \frac{x}{\ln (x)}

$\pi(x) = \frac{x}{\ln(x)}$ ，即不超过

x

$x$ 的素数的个数接近于

\frac{x}{\ln (x)}

$\frac{x}{\ln(x)}$ 。另外，本文章参考自OI-wiki，为自用。 ## 素数判定 ### 朴素的质数判断判断一个数

x

$x$ 是否为素数，从素数的定义*（大于1的整数中，阅读全文

posted @ 2023-01-10 09:02 Ciaxin 阅读(187) 评论(0) 推荐(1) 编辑

最大公因数与最小公倍数

摘要：两个数的最大公因数

g c d

$gcd$ 与最小公倍数

l c m

$lcm$ 满足：

a \times b = g c d (a, b) \times l c m (a, b)

$a\times b = gcd(a,b)\times lcm(a,b)$ 由欧几里得算法可以快速的求出最大公因数，由此可以得到最小公倍数的值。 $$ lcm(a,b) = \frac{a}{gcd(a,b)}\ 阅读全文

posted @ 2023-01-10 08:55 Ciaxin 阅读(356) 评论(0) 推荐(1) 编辑

裴蜀定理

摘要：裴蜀定理，又称贝祖定理（Bézout's lemma）。是一个关于最大公约数的定理。其内容是：

设 a 与 b 为 不 全 为 零 的 整 数 ， 则 存 在 整 数 x 与 y ， 使 得 a x + b y = gcd (a, b) 。

$\large{设\ a\ 与\ b\ 为不全为零的整数，则存在整数\ x\ 与\ y，使得\ ax+by=\gcd(a,b)。}$ 证明（...）: （1）OI WIKI 阅读全文

posted @ 2023-01-10 07:58 Ciaxin 阅读(118) 评论(0) 推荐(1) 编辑

欧几里得算法以及扩展

摘要：## 欧几里得算法欧几里得算法（又称：辗转相除法），可以快速求出两个的最小公倍数。

gcd (a, b) = {\begin{cases} a, (b = 0) \\ gcd (b, a \mod b) \end{cases}

$\gcd(a,b)= \begin{cases} a, (b=0)\\ \gcd(b,a\mod b) \end{cases}$ ```cpp int gcd(int a, int b) { retur 阅读全文

posted @ 2023-01-09 22:53 Ciaxin 阅读(40) 评论(0) 推荐(0) 编辑

约数个数

摘要：## 唯一分解定理 ### 定义：任意一个大于

1

$1$ 的自然数

n

$n$ ，如果

n

$n$ 不是素数，那么

n

$n$ 可以分解为有限个质数的连乘积。如果不计各个素因数的顺序，那么这种分解是惟一的。（又称：算术基本定理），即 $$ n=p_{1}^{a_1}\times p_{2}^{a_2}\times 阅读全文

posted @ 2023-01-09 22:16 Ciaxin 阅读(181) 评论(0) 推荐(1) 编辑

模运算及逆元

摘要：## **1、四则运算均可进行取模运算(mod)。** 在加法（与乘法相同）的取模运算中，可以写作

(a + b) mod p = (a mod p + b mod p) mod p

$(a+b)\bmod p=(\ a\bmod p+b\bmod p\ )\bmod p$ 但是减法的取模运算，

- 1 mod 5

$-1\bmod 5$ 在计算机中的运算为

- 1

$-1$ ，但正确的结果应为

4

$4$ 阅读全文

posted @ 2023-01-05 11:36 Ciaxin 阅读(1196) 评论(0) 推荐(1) 编辑

Ciaxin_

就算身隔两地我们看到的仍是同一片天空。

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