约数个数

唯一分解定理

定义：

任意一个大于 $1$ 的自然数 $n$，如果 $n$ 不是素数，那么 $n$ 可以分解为有限个质数的连乘积。如果不计各个素因数的顺序，那么这种分解是惟一的。（又称：算术基本定理），即

$$n=p_{1}^{a_1}\times p_{2}^{a_2}\times p_{3}^{a_3}\times\dots\times p_{k-1}^{a_{k-1}}\times p_{k}^{a_k}$$

其中，$p_1<p_2<p_3<\dots<p_{k-1}<p$ 均为质数，其中指数 $a_i$ 是正整数。这样的分解称为 $n$ 的标准分解式。

cout << n << '=';
for (int i = 1 ; i * i <= n; i ++ ) {
	for (; n%i == 0; n /= i) cout << i << ' ';
}
if (n > 1) cout << n;

---

性质：

（1）一个大于 $1$ 的正整数 $n$，如果它的标准分解式为 $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\dots p_n^{a_n}$
那么它的 正因数个数 为 $$\sigma_0(n)=(1+a_1)(1+a_2)\dots(1+a_n)=\sum_{d\mid n}1=\sum_{d=1}^{n}\left[d\mid n\right]$$

---

（2）它的全体 正因数之和 为

$$\sigma_1(n)=(p_1^0+p_1^1+p_1^2\dots p_1^{a_1})(p_2^0+p_2^1+p_2^2\dots p_2^{a_2})\dots (p_n^0+p_n^1+p_n^2\dots p_n^{a_n})=\sum_{d\mid n}d$$

当 $\sigma_1(n) = 2n$ 时，称 $n$ 为完全数。

---

（3）利用唯一分解定理可以重新定义整数 $a$ 与 $b$ 的最大公因数$\gcd(a,b)$和最小公倍数$lcm(a,b)$，并由此证明

$$a\times b = \gcd(a,b)\times \text{lcm}(a,b)$$

---

• 关于 $n!$ 的分解式中的每个质数的指数的求法：

$$c_i=\sum_{k=1}^{\infty}\left\lfloor\frac{n}{p_i^k}\right\rfloor$$

所有约数

1. 筛约数个数。

vis[1] = true; sum[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i ++ ) {
    if (! vis[i]) p[++ p[0]] = i, sum[i] = 2;
    for (int j = 1; j <= p[0] && i * p[j] <= n; j ++ ) {
        vis[i * p[j]] = true;
        if (i % p[j] == 0) {
            sum[i * p[j]] = (sum[i] << 1) - sum[i / p[j]];
            break;
        }
        sum[i * p[j]] = sum[i] << 1;
    }
}

2. 筛约数和。

vis[1] = true; sum[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i ++ ) {
    if (! vis[i]) p[++ p[0]] = i, sum[i] = i + 1;
    for (int j = 1; j <= p[0] && i * p[j] <= n; j ++ ) {
        vis[i * p[j]] = true;
        if (i % p[j] == 0) {
            sum[i * p[j]] = sum[i] + sum[i] * p[j] - p[j] * sum[i / p[j]];
            break;
        }
        sum[i * p[j]] = sum[i] + sum[i] * p[j];
    }
}