欧几里得 算法复杂度

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欧几里得算法, 又称辗转相除法, 用于求两个自然数的最大公约数. 算法的思想很简单, 基于下面的数论等式

                                    gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)

其中gcd(a, b)表示a和b的最大公约数, mod是模运算, 即求a除以b的余数. 算法如下:

输入: 两个整数a, b

输出: a和b的最大公约数

function gcd(a, b:integer):integer;

   if b=0 return a;

   else return gcd(b, a mod b);

end function

欧几里得算法是最古老而经典的算法, 理解和掌握这一算法并不难, 但要分析它的时间复杂度却并不容易. 我们先不考虑模运算本身的时间复杂度(算术运算的时间复杂度在Knuth的TAOCP中有详细的讨论), 我们只考虑这样的问题: 欧几里得算法在最坏情况下所需的模运算次数和输入的a和b的大小有怎样的关系?

我们不妨设a>b>=1(若a<b我们只需多做一次模运算, 若b=0或a=b模运算的次数分别为0和1), 构造数列{u_n}: u₀=a, u₁=b, u_k=u_k-2 mod u_k-1(k>=2), 显然, 若算法需要n次模运算, 则有u_n=gcd(a, b), u_n+1=0. 我们比较数列{u_n}和菲波那契数列{F_n}, F₀=1<=u_n, F₁=1<=u_n-1, 又因为由u_k mod u_k+1=u_k+2, 可得u_k>=u_k+1+u_k+2, 由数学归纳法容易得到u_k>=F_n-k, 于是得到a=u₀>=F_n, b=u₀>=F_n-1. 也就是说如果欧几里得算法需要做n次模运算, 则b必定不小于F_n-1. 换句话说, 若 b<F_n-1, 则算法所需模运算的次数必定小于n. 根据菲波那契数列的性质, 有F_n-1>(1.618)ⁿ/sqrt(5), 即b>(1.618)ⁿ/sqrt(5), 所以模运算的次数为O(lgb).