5210: 最大连通子块和 动态DP 树链剖分
国际惯例的题面:
这题......最大连通子块和显然可以DP，加上修改显然就是动态DP了......
考虑正常情况下怎么DP:
我们令a[i]表示选择i及i的子树中的一些点，最大连通子块和;
b[i]表示在i的子树中选择一些点(不一定包含i)，最大连通子块和。
那么我们要询问i的子树的话，答案就是b[i]了。
考虑这个DP怎么转移，a[i]=max(sigma(j:SON_i)a[j]+v[i],0),b[i]=max((j:SON_i)b[j],a[i])。
陈俊锟说过，树上动态DP，就是把树拆成链，分离轻重儿子的转移。
于是我们重新定义DP:
f[i]表示从i所在的重链到i，选择连续一段和连续一段的子树，最大连通子块和(可以不包含i选择空段，类似a[i]);
g[i]表示计算i这个点本身和i的虚孩子们，形成的最大连续子块和。
dp[i]表示从i所在的重链到i，选择连续一段和连续一段的子树，或者从某个点的虚孩子中选择一个连通块，最大连通子块和(显然这个不一定包含i)。
这样的话，我们的转移就有:
g[i]=v[i]+sigma(j:LIGHTSON_i)f[j],f[i]=max(g[i]+f[HEAVYSON_i],0),dp[pos]=max(f[i],dp[HEAVYSON_i],max((j:LIGHTSON_i)dp[j]))。
这个转移初始化的话直接线性DP一遍就好了。
考虑怎么动态，这里的轻重孩子的转移都定义好了，我们只需要修改一些点的g和dp值，给他的父亲所在的重链当做输入值就好。
考虑怎么查询，如果是一条链的话，我们查询的就是最大子段和。树上的话，我们对于重链，也能查询g的最大子段和。
对于最优解不在这条链上的情况，我们用这个点的所有轻儿子的dp值去更新它单点的最大连续子段和就好，显然这是正确的。
也就是说，我们还需要维护一下DP值。考虑DP值是取max，所以用multiset去维护一下就好。
(其实这题我本来想写类似矩阵乘法的DP转移的，然后发现不会查询，于是只好分析题目性质列DP了)
代码:
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #include<set> 4 using std::max; 5 typedef long long int lli; 6 const int maxn=2e5+1e2; 7 8 lli in[maxn],f[maxn],g[maxn],idp[maxn]; // f means from chain to top , g means cost of pos and virtualsons of pos , idp means max segment sum . 9 int s[maxn],t[maxn<<1],nxt[maxn<<1]; 10 int dep[maxn],siz[maxn],fa[maxn],son[maxn],top[maxn],id[maxn],rec[maxn],mxd[maxn]; 11 std::multiset<lli> ls[maxn]; 12 13 struct SegmentTree { 14 int l[maxn<<2],r[maxn<<2],lson[maxn<<2],rson[maxn<<2],cnt; 15 SegmentTree() { cnt = 1 ; } 16 struct Node { 17 lli sl,sr,su,mx; 18 friend Node operator + (const Node &a,const Node &b) { 19 return (Node){max(a.sl,a.su+b.sl),max(a.sr+b.su,b.sr),a.su+b.su,max(a.sr+b.sl,max(a.mx,b.mx))}; 20 } 21 inline void fil(int id) { 22 sl = sr = max( g[rec[id]] , 0ll ) , su = g[rec[id]] , mx = max( g[rec[id]] , *ls[rec[id]].rbegin() ); 23 } 24 }ns[maxn<<2]; 25 inline void build(int pos,int ll,int rr) { 26 l[pos] = ll , r[pos] = rr; 27 if( ll == rr ) return ns[pos].fil(ll); 28 const int mid = ( ll + rr ) >> 1; 29 build(lson[pos]=++cnt,ll,mid) , build(rson[pos]=++cnt,mid+1,rr) , 30 ns[pos] = ns[lson[pos]] + ns[rson[pos]]; 31 } 32 inline void update(int pos,const int &tar) { 33 if( l[pos] == r[pos] ) return ns[pos].fil(tar); 34 const int mid = ( l[pos] + r[pos] ) >> 1; 35 tar <= mid ? update(lson[pos],tar) : update(rson[pos],tar); 36 ns[pos] = ns[lson[pos]] + ns[rson[pos]]; 37 } 38 inline Node query(int pos,const int &ll,const int &rr) { 39 if( ll <= l[pos] && r[pos] <= rr ) return ns[pos]; 40 const int mid = ( l[pos] + r[pos] ) >> 1; 41 if( rr <= mid ) return query(lson[pos],ll,rr); 42 else if( ll > mid ) return query(rson[pos],ll,rr); 43 else return query(lson[pos],ll,rr) + query(rson[pos],ll,rr); 44 } 45 }sgt; 46 typedef SegmentTree::Node Node; 47 48 inline void addedge(int from,int to) { 49 static int cnt = 0; 50 t[++cnt] = to , nxt[cnt] = s[from] , s[from] = cnt; 51 } 52 inline void pr(int pos) { 53 siz[pos] = 1; 54 for(int at=s[pos];at;at=nxt[at]) if( t[at] != fa[pos] ) { 55 fa[t[at]] = pos , dep[t[at]] = dep[pos] + 1 , pr(t[at]) , siz[pos] += siz[t[at]]; 56 if( siz[t[at]] > siz[son[pos]] ) son[pos] = t[at]; 57 } 58 } 59 inline void pre(int pos) { 60 static int iid; 61 top[pos] = pos == son[fa[pos]] ? top[fa[pos]] : pos , rec[id[pos]=++iid] = pos , mxd[top[pos]] = iid , g[pos] = in[pos]; 62 if( son[pos] ) pre(son[pos]) , idp[pos] = idp[son[pos]] , f[pos] = f[son[pos]]; 63 for(int at=s[pos];at;at=nxt[at]) if( t[at] != fa[pos] && t[at] != son[pos] ) pre(t[at]) , g[pos] += f[t[at]] , ls[pos].insert(idp[t[at]]); 64 f[pos] = max( f[pos] + g[pos] , 0ll ) , idp[pos] = max( idp[pos] , max( f[pos] , *ls[pos].rbegin() ) ); 65 } 66 67 inline Node query(int pos) { 68 return sgt.query(1,id[pos],mxd[top[pos]]); 69 } 70 inline void update(int pos,int nv) { 71 Node od,nw; 72 int fst = 1; 73 od.sl = in[pos] , nw.sl = nv , in[pos] = nv; 74 while(pos) { 75 g[pos] += nw.sl - od.sl; 76 if( !fst ) ls[pos].erase(ls[pos].find(od.mx)) , ls[pos].insert(nw.mx); 77 od = sgt.query(1,id[top[pos]],mxd[top[pos]]) , sgt.update(1,id[pos]) , nw = sgt.query(1,id[top[pos]],mxd[top[pos]]); 78 fst = 0 , pos = fa[top[pos]]; 79 } 80 } 81 82 int main() { 83 static int n,m; 84 static char o[10]; 85 scanf("%d%d",&n,&m); 86 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",in+i) , ls[i].insert(0); 87 for(int i=1,a,b;i<n;i++) scanf("%d%d",&a,&b) , addedge(a,b) , addedge(b,a); 88 pr(1) , pre(1); 89 sgt.build(1,1,n); 90 for(int i=1,x,y;i<=m;i++) { 91 scanf("%s%d",o,&x); 92 if( *o == 'M' ) scanf("%d",&y) , update(x,y); 93 else printf("%lld\n",query(x).mx); 94 } 95 return 0; 96 }
いろ褪せたページの记忆
封存在褪色书页里的记忆
瞳闭じれば苏る
倘若闭上眼睛的话便会再度浮现
あどけない少女の祈り
少女那天真纯洁的祈望
羽ばたけよ 希望の空へ
振翅飞翔吧，向着希望的天空
叹く间もなく 时は流れる
时间在静静流逝，连叹息的时间也没有了
ひとり立ち止まるけど
但是却独身一人停下了脚步
