[GoogleInterview]连续子序列问题
Before the Beginning
本文为 Clouder 原创文章,原文链接为 https://www.codein.icu/gci-subarray/,转载时请将本段放在文章开头显眼处。如进行了二次创作,请明确标明。
前言
在颓废地水 Telegram 的时候,在 Codeforces 群里看到有人发了张谷歌面试的题的图,还是有那么一些意思的,向神犇求助后有所收获,写一篇题解。
题目难度不大,如何优雅地解决才是问题。
题面
给定一个无序数组 \(A\),长度为 \(N\),元素皆为非负整数,要求找到一段连续的子序列使得其和为 \(S\)。
思路
暴力的思路非常简单,枚举左右端点乱搞就是了。复杂度大概是 \(O(n^3)\) 的。
考虑稍加优化,预处理出前缀和,依然枚举左右端点,复杂度为 \(O(n^2)\)。
这是最直观的想法了,然而要求复杂度为 \(O(n)\),就必须找到更优的算法。
哈希表法
既然有了前缀和,那么这一段子序列可以用数学语言来表示一下:
\(S = s_i - s_j(j \leq i)\)
其中 \(s\) 代表前缀和。
稍加变换,就可以变为:
\(s_i - S = s_j(j \leq i)\)
问题转化为是否存在 \(j \in [1,i]\) 使得 \(s_j = s_i - S\)。
那么可以顺着扫一遍,判断之前是否有 \(s_j = s_i - S\),再将 \(s_i\) 的值记录下来。
伪代码:
for(int i = 1;i<=n;++i)
{
s[i] = s[i - 1] + a[i];
if(map[s[i] - S] != 0)
return make_pair(map[s[i] - S] + 1,i);
map[s[i]] = i;
}
那么复杂度的瓶颈就在于这个 map 如何实现了。使用红黑树可以做到稳定的 \(O(n\log n)\),而使用哈希表可以做到 \(O(n)\)。
然而哈希表的复杂度相当玄学,并且在元素值域过大时表现并不好。
有没有更稳定的、优雅的解决方法呢?
双指针扫描法
这是与神犇讨论后产生的解法,笔者认为相当优雅,并且顺路膜拜了神犇。
双指针扫描发,或者说对撞指针法?网上的资料较少,我只能大致讲一下。
拿经典的两数之和来举例子吧。
首先保证数组有序,要求找到两个数和为定值。
那么初始化左指针为数组开头,右指针为数组末尾。
判断两数相加,若大于目标值,则右指针左移。若小于目标值,则左指针右移。
那么两个指针重合时终止。很容易证明复杂度为 \(O(n)\)。
相信这个还是很容易理解的。
那么这道题,只是将两数之和变成了两数之差,也可以使用相类似的双指针法。
要求:
\(S = s_i - s_j(j \leq i)\)
先预处理出前缀和数组,由于元素都是非负整数,前缀和数组天然单调递增。
发现右指针右移时单调递增,左指针右移时单调递减,因此满足了单调性。
如果空数组也是可选的,那么右指针初始和左指针位置相同。
伪代码:
int lp = 0,rp = 0;
while(lp <= rp && lp >= 0 && rp <= n)
{
if(s[rp] - s[lp] == S)
return make_pair(lp + 1,rp);
if(s[rp] - s[lp] < S)
++rp;
else
++lp;
}
那么复杂度就是相当稳定的 \(O(n)\)了。
双指针扫描法证明
至于双指针法的正确性,感性理解很容易,但严谨证明,笔者觉得还是有些难度的。(当然是笔者太弱了)
在借鉴了 chend大佬的两数之和正确性证明 后,笔者也尝试自证一下。
使用数学归纳法证明算法运行过程中 \(\forall a \in [0,L],b \in [L+1,R]\),\(s_b - s_a \neq S\)。
- 初始时,不考虑空数组的情况,从 \(L = 0,R = 1\) 开始,若成立则算法退出,否则命题成立。
- 假定 \(\forall a \in [0,L],b \in [L+1,R]\) 中命题已成立,
欲证 \(\forall a \in [0,L+1],b \in [L+2,R]\) 中命题成立,
若 \(s_{R} - s_{L+1} = S\) 则算法结束,因此要证明命题,
即证 \(\forall b \in [L+2,R]\) 都有 \(s_b - s_{L+1} \neq S\)。
使用反证法证明,假定 \(\forall b \in [L+2,R]\) 有 \(s_b - s_{L+1} = S\),若 \(b = R\) 则算法已结束,因此 \(b \in [L+2,R - 1]\)。
那么由单调性,有 \(s_b - s_{L} >= S\),且如果取等号则算法在先前已结束,因此 \(s_b - s_L > S\)。
根据定义,当 \(s_b - s_L > S\) 时,右指针将会固定在 \(b\) 的正确位置,左指针会直接移动到 \(L+1\),而右指针不会到达当前的 \(R\) 的位置,矛盾。
因此在算法运行过程中,若 \(a \in [0,L],b \in[L+1,R]\) 中命题成立,则\(a \in [0,L+1],b \in [L+2,R]\) 中命题成立。 - 同理可证明 \(a \in [0,L],b \in [L+1,R+1]\) 中命题成立。
那么在算法运行过程中,根据定义移动指针可始终保证命题成立,不会漏掉 \(s_b - s_a = S\) 的情况。
由于笔者水平问题,证明并不严谨,读者可看大佬原文自行证明。
结语
做题容易,优雅地切题难,切完要证更难啊……
对指点笔者的两位神犇表达膜拜之情。
附上代码包,包含两种方法和数据生成器、检验器和对拍器。
为了实现方便,哈希表使用了 map 容器来代替。
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