4 Empirical Properties of Limit Order Books
LOB 可以揭露很多有趣的微观信息，近年来也有许多研究。但需要注意：高频交易的进化速度极快，让这些研究很多时候比较过时。
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总结性的来说，作者发现了这些特点：
- 每日交易量大概占市值的 \(0.5\%\). 从 1995 到 2015,这个比例近乎翻倍了。
- 在 midprice \(1\%\) 附近的 volumes(差不多是 daily volatility 的一半的范围)占当日总交易量的 \(1\% \sim 3\%\).
- best quotes 的活动在 ms 级别，large tick 的活动更加频繁。
- trade-through market orders(吃了 LOB 多档的订单)，在 small tick assets 上只有一小部分，而在 large-tick stocks 上则非常稀有。
在任意时刻，LOB 上揭露的订单都只是当天活动的很小一部分。
order flow 和 LOB 的很多属性都有着强烈的 intra-day patterns. 每天的不同时段表现是不同的。
比如就成交量而言，每天接近开盘、收盘的时候交易异常活跃。前者可能是为了消化隔夜的信息，而后者则是为了尽快完成当日的交易(比如说规避持仓过夜的风险等)。此外，也有可能有许多交易者选择在流动性好的时候进行交易，从而进一步促成了交易的聚集。
large tick stocks 在开盘的交易量小，相比之下 small tick stocks 就大很多。emmm，这是普遍的吗？
Spread 在开盘时较大，而后持续减小。这可以从 Liquidity Providers 面临的 Adverse Selection 来考虑。
开盘时 Overnight News 让 Market Maker 面临强烈的 Adverse Selection 风险，因而需要增加 Spread. 随着交易逐渐消化掉了这部分的信息影响，Spread 就会逐渐缩小。
Liquidity 在开盘时相当稀有，而在收盘时相当充裕。这也意味着如果我们想干票大的、又不想承担太多的 Price Impact，可以选择在接近收盘的时候交易。
不同类型的 stocks 的 Spread Distribution 还是有所不同的。对于 large-tick stocks 而言，大部分时候 Spread 就是 1tick，在少数情况下会更大。
而对于 small-tick stocks 而言，取值就更加广泛了。
或许是因为 Spread 代表的是 Maker 的 Profit. 如果按 Spread 占市值的 Percentage 来算的话，也许会相对接近一些？
注意 bid-ask distribution 在不同的采样方式下结果是不同的。如果选择在 before-transaction 时统计，得到的 spread distribution 会比随机采样更 narrow 一些。这是因为 Liquidity Takers 会择时下单。
所以一个简单的 Taker 执行策略就是：当 Spread 较大的时候少下( 但是为什么？一般而言，如果假定 FairPrice 处于 MidPrice，那么 Taker 去拿 Best Quotes 就需要付出 Half Spread Cost，当 Spread 较大的时候，意味着这个 Cost 也较大。而这个 Cost 就是 Maker 的 Profit.
当然，如果用更 Fair 的 Price Prediction 来衡量这个 Cost，会更好一些。
可以观察 Limit Orders 挂单的分布。same-side quote-relative prices 的定义参见上篇文章 3 Limit Order Books。在 Best Quotes 处的挂单总是最多的，但更深的地方也存在不少。
在 small-tick stocks 中，有更多的挂单会选择挂在 Spread 上，这可能是因为很多时候 spread 相对较大。
根据作者的说法，撤单的分布和挂单非常相似，这可能是因为很多订单都是挂了之后，如果没成交就撤。
挂单的 Order Size 呢？这个的分布其实是相当广泛的，注意这是对数坐标。可以发现 OrderSize 没有呈现出 Cluster 聚集的状况，而是越大越少地广泛分布。
best quotes 上的 volume 分布：
可以发现 tail 和上面的 Order Size 有点像，这可能是因为一个 Large Limit Order 几乎总是会留在 LOB 上被观察到。
Queue Volumes 也可以从 calendar-time、event-time 和 before-transaction 三个角度来考察。
- 对于 small-tick stocks，在交易发生前 best quote 处的 volume 更大，说明 liquidity taker 更愿意在 opposite volume 相对较高时出手。
- 对于 large-tick stocks，在交易前的 volume 较小。Queue Volume 自身就带有跟未来价格方向有关的信息，当 ask 的流动性少、bid 流动性大时，价格一般向上移动，liquidity takers 抢着把最后剩的一点流动性拿干净。
接下来是 LOB 上的 Volume Profile：这次使用的是 opposite-side price distance，这是为了避免在 0 处的巨大 peak.
可以发现即使在相当远的位置也有许多的流动性，同时，在 small-tick stocks 上可以观察到强烈的 round-number effects：大家比较喜欢挂单在整数上。
当然，要注意，这里的 Volume Profile 是平均值，那么在一个 snapshot 的分布究竟是怎么样的呢？
可以发现在 small-tick stocks 上，LOB 实际上稀疏得多，很多时候是因为平均了才显得比较连续。
Tick size 如何影响市场呢？
首先观察：spread 和 stock price 基本上是成比例关系。由于 \(\theta=0.01\) 就是最低价了，mean stock price < 10 的离群点没法继续往下。对比较贵的 stocks 相关性还是比较强。
tick size 小的话，在 best quote 处的成交量就更少，best quote 处的 depth 也较小。
都是一些 stylized facts. 暂且还没有太反直觉的地方。
