【题解】「NOIP2024模拟赛33 T3」朱雀湖

【题解】「NOIP2024模拟赛33 T3」朱雀湖

https://www.becoder.com.cn/contest/5809/problem/3

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\(\mathcal{Description}\)

原题：https://contest.ucup.ac/contest/1511/problem/8211

有两个字符集为 \(k\) 的字符串：\(S,P\)，满足 \(P\) 中每个字符至多出现 \(2\) 次。

定义 \(F(S,P)\) 表示：\(P\) 在 \(S\)​​ 中互不相交的最多匹配次数。

问，所有可能的 \(F\) 的和。

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\(\mathcal{Solution}\)

拜谢传奇计数王：劳郑。

下 \(V\)​ 表示字符集大小。

Part.1

因为 \(P\) 的内容与答案关心不大，先考虑给定 \(P\)，怎么算 \(F(S,P)\) 的贡献和。

为保证方案的唯一， 我们钦定每个字串只会在第一次出现的时候算贡献（这样也恰能在满足不相交的条件下，使匹配次数最大）。

设 \(S\) 中与 \(P\) 匹配的位置是 \(i\)，那么其产生的贡献为：\(V^{n-m}\)。同时这个子串，产生重复贡献当且仅当：存在一个匹配位置 \(j\) 使得：\(j>i-m\)，即有重叠部分（border）因为我们钦定了 \(i\) 这里必须算贡献，那么就要减去 \(j\) 处的贡献，同时还要加上 \(j\) 以前删去的多余贡献……那就是容斥。具体的：

因为题目保证每个字符出现次数不能超过 \(2\) 次，那么 border 长度不会超过 \(\lfloor\frac n2\rfloor\)，也就是说 \(S\) 中的每个位置至多被两个能够匹配的字串覆盖。这样容斥变得容易了，答案即为：

\[Ans=\sum_{j=1}^{\lfloor\frac m2\rfloor}\sum_{i=m}^n\sum_{k=0}^{i-m-k(m-j)\ge 0}(-1)^kg(j)V^{i-m-k(m-j)}V^{n-i}+\Delta \]

其中：

• \(j\) 为 border 长度；
• \(i\) 为 \(P\) 在 \(S\) 中的匹配位置；
• \(k\) 为从 \(i\) 往前跟 \(P\) 匹配且与 \(i\)​​ 直接或间接重叠的个数；
• \(g(j)\) 为 \(P\) 具有长度为 \(j\) 的 border 的方案数；
• \(\Delta=g(0)(n-m+1)V^{n-m}\) 为 border \(=0\) 时的贡献。

直接求解较松的上界是 \(O(n^2\ln n)\)。

注意到 \(i\) 的取值实际上关系不大：（不看式子，的确确定匹配某一位置之后剩下的方案数也应该是定值

\[\begin{aligned} Ans&=\left(\sum_{j=1}^{\lfloor\frac m2\rfloor}g(j)\sum_{k=0}^{m+k(m-j)\le n}(-1)^kV^{n-m-k(m-j)}\sum_{i=m+k(m-j)}^{n}1\right)+\Delta\\ &=\left(\sum_{j=1}^{\lfloor\frac m2\rfloor}g(j)\sum_{k=0}^{m+k(m-j)\le n}(-1)^kV^{n-m-k(m-j)}(n-(m+k(m-j))+1)\right)+\Delta \end{aligned} \]

调和级数，所以时间复杂度为 \(O(n\ln n)\)。

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Part.2

现在考虑求解 \(g(j)\)。

枚举中间部分出现两次的字符个数 \(i\)，容易拿出：

\[g(j)={V\choose j}j!\sum_{i=0}^{\lfloor\frac {m-2j}2\rfloor}{V-j\choose i}{V-j-i\choose m-2j-2i}(m-2j)!\dfrac 1{2^i} \]

注意，\(g(0)\) 不能直接按照上式来计算，因为没有两边 border 的限制中间的部分就不能乱填了，如果乱填了可能就出现 border 了。所以按照上式算完 \(g(0)\) 后还要减去 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\lfloor\frac m2\rfloor} g(i)\)。

暴力算组合数复杂度为 \(O(m^3)\)。注意到每个组合数上项至多有 \(O(m)\) 种取值，预处理一下可以在 \(O(m^2)\) 求出 \(g(j)\)​。

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\(\mathcal {Summay}\)

考场上总体的思路是想到了的，Part.2 也推出来了，但是 Part.1 一直在想 dp 怎么做。还是容斥等计数手段掌握不熟练。