【题解】「NOIP2024模拟赛33 T3」朱雀湖

【题解】「NOIP2024模拟赛33 T3」朱雀湖

https://www.becoder.com.cn/contest/5809/problem/3

---

$\mathcal{Description}$

原题：https://contest.ucup.ac/contest/1511/problem/8211

有两个字符集为 $k$ 的字符串：$S,P$，满足 $P$ 中每个字符至多出现 $2$ 次。

定义 $F(S,P)$ 表示：$P$ 在 $S$​​ 中互不相交的最多匹配次数。

问，所有可能的 $F$ 的和。

---

$\mathcal{Solution}$

拜谢传奇计数王：劳郑。

下 $V$​ 表示字符集大小。

Part.1

因为 $P$ 的内容与答案关心不大，先考虑给定 $P$，怎么算 $F(S,P)$ 的贡献和。

为保证方案的唯一， 我们钦定每个字串只会在第一次出现的时候算贡献（这样也恰能在满足不相交的条件下，使匹配次数最大）。

设 $S$ 中与 $P$ 匹配的位置是 $i$，那么其产生的贡献为：$V^{n-m}$。同时这个子串，产生重复贡献当且仅当：存在一个匹配位置 $j$ 使得：$j>i-m$，即有重叠部分（border）因为我们钦定了 $i$ 这里必须算贡献，那么就要减去 $j$ 处的贡献，同时还要加上 $j$ 以前删去的多余贡献……那就是容斥。具体的：

因为题目保证每个字符出现次数不能超过 $2$ 次，那么 border 长度不会超过 $\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$，也就是说 $S$ 中的每个位置至多被两个能够匹配的字串覆盖。这样容斥变得容易了，答案即为：

$$Ans=\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{2}\rfloor }\sum _{i=m}^n\sum _{k=0}^{i-m-k(m-j)\ge 0}(-1{)}^{k}g(j)V^{i-m-k(m-j)}{V}^{n-i}+\mathrm{\Delta }$$

其中：

• $j$ 为 border 长度；
• $i$ 为 $P$ 在 $S$ 中的匹配位置；
• $k$ 为从 $i$ 往前跟 $P$ 匹配且与 $i$​​ 直接或间接重叠的个数；
• $g(j)$ 为 $P$ 具有长度为 $j$ 的 border 的方案数；
• $\mathrm{\Delta }=g(0)(n-m+1)V^{n-m}$ 为 border $=0$ 时的贡献。

直接求解较松的上界是 $O(n^2\ln n)$。

注意到 $i$ 的取值实际上关系不大：（不看式子，的确确定匹配某一位置之后剩下的方案数也应该是定值

$$\begin{array}{rl}Ans& =(\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{2}\rfloor }g(j)\sum _{k=0}^{m+k(m-j)\le n}(-1{)}^k{V}^{n-m-k(m-j)}\sum _{i=m+k(m-j)}^{n}1)+\mathrm{\Delta }\\ & =(\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{2}\rfloor }g(j)\sum _{k=0}^{m+k(m-j)\le n}(-1{)}^k{V}^{n-m-k(m-j)}(n-(m+k(m-j))+1))+\mathrm{\Delta }\end{array}$$

调和级数，所以时间复杂度为 $O(n\ln n)$。

---

Part.2

现在考虑求解 $g(j)$。

枚举中间部分出现两次的字符个数 $i$，容易拿出：

$$g(j)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{V}{j})j!\sum _{i=0}^{\lfloor \frac{m-2j}{2}\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{V-j}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{V-j-i}{m-2j-2i})(m-2j)!{\displaystyle \frac{1}{2^i}}$$

注意，$g(0)$ 不能直接按照上式来计算，因为没有两边 border 的限制中间的部分就不能乱填了，如果乱填了可能就出现 border 了。所以按照上式算完 $g(0)$ 后还要减去 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\lfloor \frac{m}{2}\rfloor }g(i)}$。

暴力算组合数复杂度为 $O(m^3)$。注意到每个组合数上项至多有 $O(m)$ 种取值，预处理一下可以在 $O(m^2)$ 求出 $g(j)$​。

---

$\mathcal{Summay}$

考场上总体的思路是想到了的，Part.2 也推出来了，但是 Part.1 一直在想 dp 怎么做。还是容斥等计数手段掌握不熟练。