【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day83 dp

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【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day83 dp

https://www.becoder.com.cn/contest/5801

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「清华集训2016」Alice 和 Bob 又在玩游戏

（FAKE

对每棵树，考虑一个最 naive 的 dp。

$f_i$：对 $i$ 的子树而言，先手是否必胜。

枚举先手的第一步，看后手在剩下的子树中必胜的是否为偶数个，如果是则必胜。

最终合并若干个树的答案是类似的。

10min

不对，没有这么简单，后手还可以有很多可能赢的策略。

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https://www.luogu.com.cn/article/lckb7fzi

可以转化为有向图上游戏，然后应用 SG 函数

具体的，每次操作后仍是一个森林，于是将个森林看作一个局面，i.e. 有向图游戏中的点。

而一个森林中，分别对每棵子树操作是不会相互影响的，所一个局面（森林）的 SG 值就是所有树的 SG 值的异或和。

感觉 0-1 trie 完全可以用线段树来理解，包括：合并啊，懒标啊，还有查询 mex（相当于线段树上二分）

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「SDOI2009」学校食堂

$(a\mathrm{or}b)-(a\mathrm{ans}b)=a\oplus b$。

（FAKE

考虑区间 dp。

$f(l,r,a,b)$：$l-1$ 的口味值是 $a$、$r+1$ 的口味是 $b$，做完 $[l,r+1]$ 内的菜的最少时间。特别的 $a=0$ 时，忽略 $l$ 的时间；$b=0$ 时忽略 $r+1$ 的时间。

答案即：$f(1,n,0,0)$。

我们容易拿到每个人最多能够提前到的位置。这个些位置的数量是 $O(b)$ 的。

直接枚举 $i$ 插队到谁的前面，有转移：

$$f(l,r,a,b)=\underset{i}{min}(f(l,i-1,a,t_r)+f(i,r-1,t_r,b))$$

注意到对于同一个 $r$， $a,b,l$ 可能的取值都是 $O(b)$ 的，精细实现可以做到 $O(n{b}^4)$。

30min

错了，因为转移的时候枚举 $i$ 会插入到前面的哪个位置之后，分成了两个完全独立的部分，实际上是不能的。

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（其实吧，虽然这个 $b$ 很小很小，但是我觉得大指数的 $\text{ploy}(b)$ 也不失为一种合理的尝试吧。

$f(i,s,j)$：前 $i-1$ 个已经在 $i$ 前面，$i$ 往后（含）已经在 $i$ 前面的情况为 $s$，最后的位置在 $j$。

（$s$ 包含 $i$ 是因为 $i$ 的菜是否做好了是两种不同的转移，且都是必要的。

统计答案直接枚举最后一个人在哪。

转移是容易的。