【题解】「NOIP2024模拟赛24 T3」钙绿

【题解】「NOIP2024模拟赛24 T3」钙绿

https://www.becoder.com.cn/contest/5715/problem/3

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$\mathcal{Description}$

给定 $n,p,m$。对于每个 $k=0,1,\dots ,m$，统计满足下面条件的 $n$ 位 $10$ 进制数：（允许前导零

1. 各位数之和不超过 $k$。
2. $p$ 能整除这个数。

数据范围：$1\le n\le {10}^9,1\le p\le 50,1\le m\le 1000$。

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$\mathcal{Solution}$

看到对 $p$ 的余数相关，就应该想到循环节一类的。以及鸽巢原理。

$O(npm)$ 的暴力是 navie 的。发现只有 $n$ 太大不可接受。

注意到，在某些位置上的相同数字可能对 $w$ 有着这相同的贡献。

具体的，一个数字在第 $x$ 位上的贡献应该是 ${10}^{x}modp$。

我们断言，在 $x\in [1,n]$ 的范围内，这个贡献一定会出现循环节不超过 $p$ 的混合循环节（若干个循环节和一段长度不超过 $p$ 的乱序序列组成）。

简单说明一下：首先只要存在两个 $x,x^{\prime }$ 使得 ${10}^{x}modp={10}^{x^{\prime }}modp$，那么 $x+1,x^{\prime }+1$ 也一定满足上面这个等式。由鸽巢原理，在长度不超过 $p+1$ 的范围内必出现两个$modp$ 后相等，于是一定存在不超过 $p$ 的循环节。同理，一开始可能存在一段不属于循环节的部分（比如 $p=5$），这部分长度也一定不超过 $p$（超过 $p$ 就一定构成循环节了。

于是，一个想法是，把这些贡献相同的位置合并起来处理，这样就把 $n$ 降到了 $p$。