【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day60 数学

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【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day60 数学

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「CF986F」Oppa Funcan Style Remastered

显然离线，然后把相同的 $k$ 一起算。

对于一个 $k$，暴力一点，拿出其所有质因数，然后做同余最短路。

复杂度取决于点数，而点数取决于 $k$ 的最小质因数。

1. $k$ 是质数。直接 check 即可；

2. $k$ 有两个质因数，最小的一定 $\le \sqrt{k}\approx 31,622,776$。发现还是太大了。

   仍然考虑特判。设两质因数为 $a,b$，就是判 $pa+qb=n(p,q\in \mathbb{N})$ 是否有解。

   （FAKE）一眼裴蜀定理，当且仅当 $gcd(a,b)|n$。

   $a,b$ 均为质数啊，$gcd(a,b)|n$ 恒成立啊。

   问题在于，裴蜀定理并没有要求 $p,q$ 均为自然数（也就是说允许减法，这与题意不符。

   正确的做法有下面两个：

   1. exgcd

      求出 $p$ 的最小非负数解，然后反代回去解出 $q$。

      因为此时 $p$ 也即最小的合法解，可以证明此时 $q$ 取最大值，如果其仍为负数那么一定无解。

      （之前对 exgcd 的理解

   2. 直接从式子入手

      一定有：$qb\equiv n(\mathrm{mod}a)⟹q=n{b}^{-1}(\mathrm{mod}a)$。

      此时的 $q$ 的数值上是正确的（并且由于取模也一定是最小的解），而符号是任意的（我们可以钦定其为正），同时 $a$ 一定是整数，只需带回去看：$b\times (n{b}^{-1}moda)\le n$ 来判定 $a$ 的符号即可。

   本质上上面两种做法是相同的：都是找到其中一个变量的最小合法解，然后再反代回去判断另一个。

   做法二如果 $a$ 不为质数，那么在形式上两者应该完全一致了。

3. $k$ 有至少三个质因数，那么最小的一定 $\le k^{\frac{1}{3}}={10}^5$。

   这样就很可观了，每次暴力去连边，边数大概为 $k^{\frac{1}{3}}\log k$，跑一遍 dijkstra 即可。

22min

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「tenka1E」Polynomial Divisors

乱搞。

首先 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{gcd}}{a}_i}$ 及其因子一定是合法的（这样可以处理一些很大的答案。

然后我们发现剩下的答案都比较小（大概不会超过 $8000$。

所以，我们直接枚举 $2\sim 8000$，然后随机 $20$ 个数作为 $x$ 来 $O(n)$ check。

时间复杂度是对的，正确性应该也挺对的（

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正确性很高的原因（from. spdarkle

我们的答案出错当且仅当 $x$ 和 $p$ 有公共因子，而我们随机了 $20$ 次，对于一个质因子，只要在某一次随机里面其与 $p$ 没有公共因子就是对的，故而我们的正确率在 ${\displaystyle \frac{1}{2^{20}}}$ 左右。（整个过程其实类似于 sum-hash

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ybC202413 有必要性的可能正解（？

然后 spdarkle 证明了其是充分的、

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跳跳棋

不会。

https://www.luogu.com.cn/article/s4k6yxmb

这些性质都非常的显然，但是这个建模是真的没想到啊。

主要是要注意到操作一共两类：一种向内；两种向外。

而这两种操作是互逆的，并且处于向内的唯一性，联想到树上父亲的唯一性，故而建出二叉树的模型。

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「NOIP2017」小凯的疑惑

https://www.luogu.com.cn/article/hth3bc8e

设金额为 $x=pa+qb(p<b)$。

首先，$p\ge 0,q\ge 0$ 的时候一定是合法的。

所以我们让 $q<0$，又因为我们要让 $b$ 最大，那么 $q$ 就取 $-1$，$p$ 取 $b-1$。

此时 $x_{max}=(b-1)a-b=ab-a-b$。

（感觉怪怪的，但是又不能说她错。