【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day58 字符串

合集 - Solution Set(47)

1.【题解】Solution Set - 树论2024-07-202.【题解】Solution Set - 容斥原理/二项式反演2024-07-203.【题解】Solution Set - 杂题选讲「刘君实」2024-07-254.【题解】Solution Set - 新高一矩阵选讲「陶治霖」2024-08-065.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day1 数据结构2024-08-076.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day2 线段树2024-08-087.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day3 权值线段树、动态开点、主席树2024-08-098.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day5 扫描线2024-08-129.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day7 线段树分裂与合并、平衡树2024-08-1410.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day8 并查集和可持久化并查集2024-08-1511.【题解】Solution Set - NOIP2024模拟赛22024-08-1812.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day10 树的直径、重⼼、中⼼2024-08-1913.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day9 树上问题2024-08-1614.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day12 树上启发式合并2024-08-2115.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day13 点分治、点分树2024-08-2216.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day14 CDQ分治2024-08-2317.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day17 整体二分2024-08-2918.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day18 优化建图2024-08-3019.【题解】Solution Set - NOIP2024模拟赛42024-09-0120.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day20 DP常⻅模型1「序列」2024-09-0221.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day21 DP常⻅模型2「背包」2024-09-0322.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day22 DP常⻅模型 1「序列」& 2「背包」2024-09-0423.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day23 DP常⻅模型3「区间」2024-09-0524.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day24 DP常⻅模型3「区间」2024-09-0625.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day26 概率期望 dp2024-09-0926.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day27 dp2024-09-1027.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day28 树形 dp2024-09-1228.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day32 数位 dp2024-09-1929.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day36 dp 优化 - 状态设计2024-09-2330.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day37 计数 dp2024-09-2931.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day43 博弈论2024-10-0432.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day44-45 图论2024-10-0533.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day47 最小生成树2024-10-0834.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day50 图的连通性相关2024-10-1435.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day52 图论杂题2024-10-1536.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day53 图论杂题22024-10-1537.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day55 图论杂题32024-10-1738.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day56 2-sat & 哈希2024-10-1839.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day57 字符串 hash2024-10-21

40.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day58 字符串2024-10-22

41.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day60 数学2024-10-2442.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day62 贪心2024-10-2843.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day63 贪心2024-10-3144.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day71 贪心2024-11-0745.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day77 反悔贪心2024-11-1446.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day83 dp2024-11-2147.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day87 二分 & 杂题2024-11-25

收起

【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day58 字符串

https://www.becoder.com.cn/contest/5658

---

「CF1466G」Song of the Sirens

考虑对于 $s_i$，算钦定必须覆盖到 $t_i$ 的匹配个数 $f_i$，其对答案的贡献为 $2^{k-i}{f}_i$。

注意到 $s$ 每次长度都会 $\times 2$ 左右，其长度在 $O(\log |w|)$ 的时候就会超过 $|w|$，而在此之后 $f_i$ 可能匹配到的字符串只会有 $t_i$ 这一位不同。

对于后面这一部分，我们直接 $O(w)$ 暴力枚举 $w$ 的每一位作为 $t_i$，来算 $f_i$。

而前面这一部分，每一次 $O(w)$ 维护 hash，同样 $O(w)$ 算 $f_i$。一共 $O(\log |w|)$ 次。

所以总时间复杂度为 $O(w\log w)$。

22min

---

「QOJ9372」Prefix of Suffixes

显然把 $B_i$ 提出来，即有：

$$Ans=\sum _{i=1}^n{B}_i\sum _{j=i}^{i+z_i-1}{A}_j$$

现在的问题在于如何去维护后面这个 $A$ 的区间和。

考虑从上一次的答案继承过来。（下面的 $n$ 都是在加入 $s_i$ 后的 $n$。

显然，$i=n$ 可以单独处理，而对于一个 $z_i,i<n$ 其要增大的一个必要条件是 $z_i=n-i$ 也即 $[i,n)$ 成为一个 border。也就是说对于 $n-1$ 的每个 border 设其长度为 $l$，如果 $s_l=s_i$ 那么这个 $z_i$ 可以累加 $1$ 并成为新的 border。我们要算这些 border 的 $B$ 的总和，然后和 $A_i$ 相乘累加到答案。

bf

每次可以在 $O(\log n)$ 的时间复杂度内，遍历每个本质不同的 border。具体的做法是：

对于一个字符串 $s$。

设当前的 border 长度为 $l$。分讨：

1. $2l\le |s|$：直接暴力跳就行了；

2. $2l>|s|$：

   设 $k=|s|-l$，则 $s[1\dots k]$ 为 $s$ 的一个周期。

   由 Weak Periodicity Lemma 的推论可以知道：

   此时 $s$ 的 border 集合中长度 $\ge k+(|s|modk)$ 的元素一定构成集合 $\{pk+(|s|modk)|p\in {\mathbb{N}}^{+}\}$。

   详细证明可以见 这篇题解。

   对于这些这些 border 她们一般会有一些良好的性质。比如这道题里面每个 border 的后一位均相同。

   既然如此，我们把这些的 $B$ 打包起来一起算。

   然后下一次直接跳到 $k$，而 $2k<|s|$。

综上，我们每次跳都能使位置减半，故能做 $O(\log n)$ 的时间复杂度。

26min

---

膜拜高手的神秘线性做法：https://www.becoder.com.cn/submission/2664090

前面部分大体差不多，只是后面算 $B$ 的总和（也即高手所说的 $g$）的时候，高手也是从上一次继承过来的，而我是直接较暴力的 $O(\log n)$ 来算的。

---

自己实现了一下，发现那些 $B$ 并不太能打包起来算，还是得从上一位继承过来。

另外一份也是 $O(n\log n)$ 但是从之前继承的题解：https://www.cnblogs.com/cjjsb/p/18427542#c-prefix-of-suffixes

---

题外话，来源似乎是：https://www.cnblogs.com/yyyyxh/p/KMP-Z.html

---

「CEOI2011」Matching

直接枚举每一个长度为 $n$ 的子串。我们维护一个 $\sum P^{c}i$，$c$ 表示比 $i$ 小的个数。然后去跟 $\sum P^{i-1}{a}_i$ 比。

总感觉和 这道题 有点莫名相像。（实际上代码也是这道题改的。

7min

（上面写的有点模糊，具体可以见代码

---

「POI2011」Periodicity

首先答案的第一位一定是 $0$（否则反转所有位一定更优。

感觉上来说有点像反悔贪心。

18min（没什么思路。

---

https://www.luogu.com.cn/article/2jepwn0f

注意 Weak Periodicity Lemma 及其推论。具体可见这篇题解。

（基于此，我们还可以对于任意前缀在 $O(\log n)$ 的时间复杂度内，找出其所有的 border（注意是找出不代表个数。

第四个情况的分讨是真的把我整破防了。

---

「POI2005」Sza-Template

首先一个必要条件是答案必须是原串 border。（对但是好像没什么用。

暴力一点，直接建出 sam，然后线段树合并求出每个等价类的的 endpos。

枚举每个等价类，比较 endpos 之间差的最大值和等价类中最长子串长度 $len$。（注意特判开始和结尾必须等于 $len$ 和 $n-len+1$。

11min（个人感觉没什么问题，实现虽然板但是比较多。

https://www.luogu.com.cn/record/184023802

对的但是被卡空间了。

---

https://www.luogu.com.cn/article/hd3hmymb

好像很有道理，可以直接 dp。

---

「POI2006」OKR-Periods of Words

做过。（但是当时好像没弄懂。

---

其实就是求最长循环节，也即长度 - 最短 border

而一般的 kmp 求的是最长 border。

我们再跑一遍，每次在 $nxt\ne 0$ 的情况下尽可能的跳 $nxt$，这样就是最短的 border 了。