【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day56 2-sat & 哈希

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https://www.becoder.com.cn/contest/5640

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「CF568C」New Language

做过的 2-sat 。

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「JOISC 2020 Day1」汉堡肉

详细题意见 becoder。

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「模板」树同构

spdarkle's blog

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独钓寒江雪

考虑一个树 dp。

$$\begin{gathered} f_{u,0}=\prod f_{v,0/1} \\ {f}_{u,1}=\prod f_{v,0} \\ Ans=f_{1,0/1} \end{gathered}$$

难点在于去重。

实际上方案重复，当且仅当子树中出现重构。（因为此时交换两棵同构且方案相同的子树时，方案相同

所以在合并子树的时候，我们自然的把等价类（就是同构的一堆子树），拎出来一起处理。

对于一个等价类，设每一颗子树的方案数为 $m$，个数为 $n$。

考虑其对 $f_u$ 的贡献。就是我们给每个子树分配一种方案，不考虑顺序。

所以其对 $f_u$ 的贡献为 ${\displaystyle \frac{m^n}{n!}}$。（FAKE（因为在重复的时候，不止是除以 $n!$ 那么简单。

现在问题其实等价于，$m$ 个盒子，$n$ 个球放入，可以空盒。

所以其对 $f_u$ 的贡献为 ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m-1}{m-1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m-1}{n})}$。

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注意要以重心为根做这个 dp。

如果我们让一个点为根节点，其满足存在另一个点为根后与之同构，那么这样的点是不能作为子树被去重到的。

所以我们要选一个点，以其为根，形成的有根树是唯一的，而重心就一定满足这个性质。

（FAKE（因为虚点的两个子树不能同时被选。

如果有两个重心，将她们两个连到一个虚点，然后以之为根正常做就行了。（最后输出的时候相当于钦定虚点不能成为独立集中的点。

正确的做法是：

将她们分开做，然后再合并就行了。（具体怎么合并可以见代码。

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「NOI2024」集合

做过。

做法见 提交记录。

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「CSP-S2022」星战

简要题意：

给定有向图。

• 修改

  1. 使一条边 失效/恢复；
  2. 使一个点的所有入边 失效/恢复。

• 查询

  判断每个点是否出度都为 $1$，且能够走到一个环。

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首先既然我们都保证了出度为 $1$，就一定合法。

这个用随机化 hash 是好 $O(1)$ 判的，现在问题在于维护 修改 2。

哦！简单，先预处理出删每个点的入边的时候对总的 hash 值的影响，然后直接更新就行了。