【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day55 图论杂题3

合集 - Solution Set(47)

1.【题解】Solution Set - 树论2024-07-202.【题解】Solution Set - 容斥原理/二项式反演2024-07-203.【题解】Solution Set - 杂题选讲「刘君实」2024-07-254.【题解】Solution Set - 新高一矩阵选讲「陶治霖」2024-08-065.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day1 数据结构2024-08-076.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day2 线段树2024-08-087.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day3 权值线段树、动态开点、主席树2024-08-098.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day5 扫描线2024-08-129.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day7 线段树分裂与合并、平衡树2024-08-1410.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day8 并查集和可持久化并查集2024-08-1511.【题解】Solution Set - NOIP2024模拟赛22024-08-1812.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day10 树的直径、重⼼、中⼼2024-08-1913.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day9 树上问题2024-08-1614.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day12 树上启发式合并2024-08-2115.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day13 点分治、点分树2024-08-2216.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day14 CDQ分治2024-08-2317.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day17 整体二分2024-08-2918.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day18 优化建图2024-08-3019.【题解】Solution Set - NOIP2024模拟赛42024-09-0120.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day20 DP常⻅模型1「序列」2024-09-0221.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day21 DP常⻅模型2「背包」2024-09-0322.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day22 DP常⻅模型 1「序列」& 2「背包」2024-09-0423.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day23 DP常⻅模型3「区间」2024-09-0524.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day24 DP常⻅模型3「区间」2024-09-0625.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day26 概率期望 dp2024-09-0926.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day27 dp2024-09-1027.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day28 树形 dp2024-09-1228.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day32 数位 dp2024-09-1929.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day36 dp 优化 - 状态设计2024-09-2330.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day37 计数 dp2024-09-2931.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day43 博弈论2024-10-0432.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day44-45 图论2024-10-0533.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day47 最小生成树2024-10-0834.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day50 图的连通性相关2024-10-1435.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day52 图论杂题2024-10-1536.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day53 图论杂题22024-10-15

37.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day55 图论杂题32024-10-17

38.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day56 2-sat & 哈希2024-10-1839.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day57 字符串 hash2024-10-2140.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day58 字符串2024-10-2241.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day60 数学2024-10-2442.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day62 贪心2024-10-2843.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day63 贪心2024-10-3144.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day71 贪心2024-11-0745.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day77 反悔贪心2024-11-1446.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day83 dp2024-11-2147.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day87 二分 & 杂题2024-11-25

收起

【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day55 图论杂题3

https://www.becoder.com.cn/contest/5636

---

「ABC187E」Through Path

注意：无根树是无向边。

一个相当于子树加 $k$，一个相当于除子树加 $k$。

3min

---

「HNOI 2018 省队集训 Day 5」party

一个结论是：题中的 party 一定是在这 $c$ 个点的 lca 处。

注意到 $m$ 比较小，考虑暴力一点的做法：bitset ！

（FAKE

我们先树剖 + bitset 拿到每个人可以拿到哪些特产。然后把每个人只有她可以拿的特产找出来，具体的这个就是其她几个人的 bitset 与起来，跟这个人异或，然后再跟自己与起来。

然后呢？

把所有人能拿到的特产的并集拿到，然后按可以被拿的人数从小到大依次贪心？好像也不对。

二分图？但是怎么判每个人拿的特产数相等？

23min

---

https://www.cnblogs.com/lcyfrog/p/13024371.html

因为 $c$ 最多只有 $5$，考虑 Hall 定理最原始的形态，也即去枚举 $S$ 的子集。

我们设每个人在答案中带来的特产数为 $x$，对于枚举的一个子集 $S^{\prime }$，我们考虑 $S^{\prime }$ 在中的每一个点拆成 $x$ 个，这样就保证了每个人拿的特产数相等。根据 Hall 定理，此时我们存在完美匹配的充要条件是 $|S^{\prime }|\times x\le |N(S^{\prime })|$，所以此时最大的 $x=\lfloor {\displaystyle \frac{|N(S^{\prime })|}{|S^{\prime }|}}\rfloor$。也就是对于每个子集求出的最大的 $x$ 再一起取 $min$ 就是答案了。

---

关于实现：

• 知道每个人可以拿到哪些特产有两个途径：（每次查询的时间复杂度为

  1. 主席树 + 树上差分：$O(cm)$；（查询整棵线段树是 $O(m)$ 不是 $O(m\log m)$ 啊。

  2. 树剖 + bitset：$O(c\log n\frac{m}{\omega })$。

     一种对于树剖的常用两只 $\log$ 化单 $\log$ 的技巧。

     维护每个点到其重链顶间的数据，这样跳重链的时候可以 $O(1)$ 查询。

     只用最后 $u,v$ 在同一重链上的时候，需要数据结构的一个 $\log$。

     所以，我们就把树剖和数据结构，在算时间复杂度时的乘法变成了加法。

  实际上在做的时候，不如用 $\frac{1}{\omega }$ 去换 $\log n$。实现难度上其实差不多。

• 算邻域的时候，可以状压 dp 算，而不用每次都取枚举当前子集的每个元素的邻域再并起来。

---

「ZJOI2018」胖

一般图是不好优化这个过程的。考察题目给的：链 + 中心点 的结构。

我们对于每个 $a_i$ 分开计算贡献，显然她能松弛（产生贡献）的点是一个区间。

这个区间肯定是有单调性的，考虑去二分这个区间，看她最先不能越过哪个 $a_i$。

另外一个点 $a_i$ 能够堵住她，当且仅当：到这的经过边数不多于她，且到这的距离更短。

（自己想整个过程的状态去了，绕了很多弯，其实只用着眼于二分的这个点。

我们需要 $O(1)$ check。

…… 20min

---

借鉴……

哦！稍微推个式子，wssb，差一点啊。

设 $di{s}_i$ 表示 $i$ 到 $1$ 的距离。

设当前枚举的 $a_i$ 为 $A$，二分的点为 $x$。经过边数不多于她，就要求我们在 $[x-(A-x),x+(A-x)]$ 内找到到 $x$ 的最短距离。

也就是 $l_i+|di{s}_{a_i}-di{s}_x|$，拆绝对值：

• 如果 $a_i$ 在 $x$ 左侧，$dis=l_i+(di{s}_x-di{s}_{a_i})$。
• 如果 $a_i$ 在 $x$ 右侧，$dis=l_i+(di{s}_{a_i}-di{s}_x)$。

所以我们只需要用 st 表去维护 $l_i\pm di{s}_{a_i}$ 的最小值，然后再取 $min$ 就行了。

---

注意一下去重的问题。

如果一个点对两个 $a_i$ 都可以有贡献，我们钦定对编号更小的 $a_i$ chan