【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day53 图论杂题2

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【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day53 图论杂题2

https://www.becoder.com.cn/contest/5628

之前写的因为重装系统被清了，部分题目后面重写了一遍就比较简略。

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「BZOJ4144」Petrol

和 「CF1253F」Cheap Robot 完全一样，只是需要特判一下不联通。

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「AMPPZ2013」Bytehattan

注意：题目删的是双向边。

对偶图。

周冬 2008 年国家队论文

如果不连通，就是以 $(a,b)$ 作为源点/汇点，存在一个割，等价于在对偶图上存在一个环。

删去一条边，就是说我们可以割掉这条边，于是在对偶图上加上对应边，然后判是否能构成环就行了。

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「CCO 2021」商旅(Travelling Merchant)

做过。

考虑一个 dp。

$$f_u=\underset{v}{min}(max(f_v-p,r))$$

首先排除所有出度为 $0$ 的点，其一定无解；否则一定可以有解。

想办法避免 dp 的后效性。

我们的目标其实就是想办法去掉里面的 $max$。

根据一些性质分析。

注意到，性质 1：一条边的 $r$ 如果是最大的话，她对 $u$ 的贡献只能是 $r$（因为只要从这里走出去就畅通无阻了）。贡献后直接删除。

这个时候，我们可能产生一些没有出度的点，其答案一定是确定了，那么删掉她并用其去更新其前驱。

此时，所有的点都是有出度的了。

所以，刚才的性质 1 依旧适用，所以我们每次取 $r$ 最大的边来破环就行了。

具体实现可以参见 luogu 题解区。

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「JOI 2017 Final」足球

https://www.luogu.com.cn/article/zsi8sd7l

踢球要分横竖，是因为我们并不能在没有人的情况下让球自己拐弯。

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「COI2012」TRAMPOLIN

直接将每个点可以去到的点连有向边，然后就是求最长路。

蹦床的话，就建一个虚点连向所有的点就行了。

最后缩点，然后 topo 就行了。

4min

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「CF576D」Flights for Regular Customers

注意到，答案的路径一定存在一个分界点，到她之前经过的最后一条边 $d=D$ 是恰好满足 $d_i$ 的性质的。剩下经过的边的 $d$ 都小于 $D$。特别的 $1$ 也算一个分界点。

所以，考虑枚举这个可以经过的边的阈值 $D$，也即从小到大加边。

如果我们知道在恰好经过 $D$ 条边，且满足 $d_i$ 的限制的时候，能够到达哪些点（也就是那些可能的分界点）。就可以直接跑一遍多源最短路来获得答案。

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考虑怎么维护这个连通性。

对于一张图的邻接矩阵，将其是为一个矩阵 $A$。

那么 $A^n$ 可以表示恰好经过 $n$ 条边，能够到达的那些点。

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这个东西正确，是因为 矩阵乘法 和 floyd 具有高度的一致性。

时间复杂度是：$O(m{n}^3\log d)$。很悬。

注意到矩阵的取值只有 0/1，改成 bitset 可以做到 $O\left({\displaystyle \frac{m{n}^3\log d}{\omega }}\right)$。