【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day52 图论杂题

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【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day52 图论杂题

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「CF1253F」Cheap Robot

感觉做过啊。

如果我们把充电站两两连边，边权为两点间距离，建一张新图，那么 $(a,b)$ 的答案就是 $(a,b)$ 间路径上最大值的最小值。自然想到 kruskal 重构树。

考虑改进建图。

首先这个连边肯定是不会途径第三个充电中心的。

没什么用……

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感觉也没有题解说的那么玄乎。

主要是要去求，每个点到离她最近的充电中心的距离，设其为 $di{s}_x$。

对于一条边 $(u,v,w)$ 可以经过她的必要条件是：$c\ge di{s}_u+di{s}_v+w$。

这个不等式其实表明，我们可以从 $u$ 安全的到达 $v$，并走到一个最近充电中心。（然后我们可以继续从这个最近的充电站再走回 $v$，然后再继续走。

所以如果有一条路径上的边都满足上面这个不等式，那么这个 $c$ 一定是合法的，所以这个条件又是充分的。

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剩下的就简单了。

我们把每条边重新赋值为 $di{s}_u+di{s}_v+w$，然后就是问 $(a,b)$ 间路径上最大值的最小值。kruskal 重构树然后在线 lca 查询就行。