【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day47 最小生成树

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【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day47 最小生成树

https://www.becoder.com.cn/contest/5606

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色

12min 没思路……

显然，可以证明的是最终的答案一定是一条边的长度。

（FAKE

考虑给这个无向图定向，如果我们能使每个点的出度平均，即 ${\displaystyle \frac{m}{n}}$，那么很可能根号分治就是对的了。

想不到怎么定向。

（我在想什么，定了向也没用啊，始终修改之后还是需要双向的维护。

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https://www.cnblogs.com/AWhiteWall/p/12522740.html

其实，结论可以更进一步：这条边一定在 mst 上。

Why?

• 如果答案边不在 mst 上，那么在 mst 上的这两个点之间的路径总长度一定大于等于这条边权，这样我们不如断开这个路径上的一条边，而连上这条边，从而构造出一个更优的 mst，矛盾！

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（然后自己突然有个神奇的想法。

我们不妨把询问离线下来，然后去枚举每一条边，这条边可以产生贡献当且仅当两个端点颜色不同。

我们不妨把所有的颜色修改放在每个节点上，然后统计答案就行了，总共的复杂度应该是 $O(q)$。

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https://www.becoder.com.cn/submission/2646602

有问题！一个菊花图，并且每次都修改中间那个节点，就直接卡掉了。😥

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（cube 提供了一个非常神秘的随机赋权+根号分治做法。

考虑将 $m$ 条边从小到大排序，然后按 $\sqrt{m}$ 分块。我们要做的就是快速判断每个块内是否存在 $c_u\ne c_v$ 的边。

考虑对每个块维护 $\sum _i(c_u-c_v)\times va{l}_i$，其中 $va{l}_i$ 是边 $i$ 随机赋的一个权。

我们就是找到第一个该值不为 $0$ 的块，然后在里面暴力就行了。

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考虑维护这个值。

我们先求出每个点分别在 $\sqrt{m}$ 块内的系数，然后对每个块依次改就行。

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「THUPC 2022 初赛」最小公倍树

做过，但是印象不多。

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完全图，所以跟图的形态关系不大。

有直接倍数关系的可以直接忽略较大值。

能不能想办法继续缩小边的范围？

$$\text{lcm}(a,b)={\displaystyle \frac{ab}{\text{gcd}(a,b)}}$$

感觉跟调和级数有关系。

（FAKE

把所有因子跟其倍数连边，然后想办法让取 mst 的时候，实点 $\to$ 虚点 $\to$ 实点的边权和为 $\text{lcm}$。

感觉怪怪的，有些虚点也不是必须要在 mst 上的，没前途的。

10min

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其实远没有这么复杂。我们考虑去枚举这个 $d=gcd(a,b)$，我们只需要对每个集合 $S=\{x|x=kd\}$ 内部连边，就一定能覆盖完 mst 中的所有边。注意这里 $d$ 可能并不一定是真正的 $gcd$，但是可以证明在取最终 mst 的时候，对于同一对 $(a,b)$ 一定会去选取 $d$ 最大的那条边，也即取到 $gcd$ 了。

对于一个 $S$ 中，显然将所有的元素都连向 $S_{min}$ 是最优的，因为 $gcd$ 一样，我们显然要让乘积最小。

这样边数就是调和级数 $O(n\ln n)$ 的了。

然后跑 kruskal 就行。

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「CF1120D」Power Tree

做过，有印象。

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看错题了，以为是给子树内所有点都 $+v_i$。😅

相当于一开始在每个叶子节点上面有一颗棋子，可以将棋子移动到她的祖先，要求最终权值和最小，并且移动路径不能有交。

从下往上考虑贪心，我们把子树中权值最大的棋子向上移动就行了。

https://www.becoder.com.cn/submission/2642715

只看第一问，这个暴力是对了（但是在这个随机数数据下，$O(n{\log }^{2}n)$ 显得异常优秀啊。

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考虑启发式合并优化这个过程。（似乎比 dsu on tree 好写一点。

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https://www.becoder.com.cn/submission/2643216

注意：一个点被其祖先替换掉的时候，和这个点等价的那些点也要 tag=0。

尽力了，但是方案并集输出真的好 ex，遂摆烂。

https://codeforces.com/problemset/submission/1120/285139296

（并集大小只多了一个元素！！！一组 Hack

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最小生成树的做法。

https://www.luogu.com.cn/article/z692g8r0

区间加转化为连边，还是挺妙的。

还有就是注意最小生成树，方案并集的输出。

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「HNOI2010」城市建设

https://www.luogu.com.cn/article/zxqeaowk

两个 trick 见题解吧。

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「BZOJ4808」马

一眼二分图。

棋盘黑白染色，显然不存在在同一种颜色格子中的两个马能够互相吃到，所以连边求最大独立集就行了。

3min（实际上是真的一眼，但是打字太慢了。/kk