12min 没思路……

显然，可以证明的是最终的答案一定是一条边的长度。

（FAKE

考虑给这个无向图定向，如果我们能使每个点的出度平均，即 \(\dfrac mn\)，那么很可能根号分治就是对的了。

想不到怎么定向。

（我在想什么，定了向也没用啊，始终修改之后还是需要双向的维护。

https://www.cnblogs.com/AWhiteWall/p/12522740.html

其实，结论可以更进一步：这条边一定在 mst 上。

Why?

如果答案边不在 mst 上，那么在 mst 上的这两个点之间的路径总长度一定大于等于这条边权，这样我们不如断开这个路径上的一条边，而连上这条边，从而构造出一个更优的 mst，矛盾！

（然后自己突然有个神奇的想法。

我们不妨把询问离线下来，然后去枚举每一条边，这条边可以产生贡献当且仅当两个端点颜色不同。

我们不妨把所有的颜色修改放在每个节点上，然后统计答案就行了，总共的复杂度应该是 \(O(q)\)。

https://www.becoder.com.cn/submission/2646602

有问题！一个菊花图，并且每次都修改中间那个节点，就直接卡掉了。😥

（cube 提供了一个非常神秘的随机赋权+根号分治做法。

考虑将 \(m\) 条边从小到大排序，然后按 \(\sqrt m\) 分块。我们要做的就是快速判断每个块内是否存在 \(c_u\ne c_v\) 的边。

考虑对每个块维护 \(\sum_i (c_u-c_v)\times val_i\)，其中 \(val_i\) 是边 \(i\) 随机赋的一个权。

我们就是找到第一个该值不为 \(0\) 的块，然后在里面暴力就行了。

考虑维护这个值。

我们先求出每个点分别在 \(\sqrt m\) 块内的系数，然后对每个块依次改就行。

「THUPC 2022 初赛」最小公倍树

做过，但是印象不多。

完全图，所以跟图的形态关系不大。

有直接倍数关系的可以直接忽略较大值。

能不能想办法继续缩小边的范围？

\[\text{lcm}(a,b)=\dfrac {ab}{\text{gcd}(a,b)} \]

感觉跟调和级数有关系。

（FAKE

把所有因子跟其倍数连边，然后想办法让取 mst 的时候，实点 \(\to\) 虚点 \(\to\) 实点的边权和为 \(\text{lcm}\)。

感觉怪怪的，有些虚点也不是必须要在 mst 上的，没前途的。

10min

其实远没有这么复杂。我们考虑去枚举这个 \(d=\gcd(a,b)\)，我们只需要对每个集合 \(S=\{x|x=kd\}\) 内部连边，就一定能覆盖完 mst 中的所有边。注意这里 \(d\) 可能并不一定是真正的 \(\gcd\)，但是可以证明在取最终 mst 的时候，对于同一对 \((a,b)\) 一定会去选取 \(d\) 最大的那条边，也即取到 \(\gcd\) 了。

对于一个 \(S\) 中，显然将所有的元素都连向 \(S_\min\) 是最优的，因为 \(\gcd\) 一样，我们显然要让乘积最小。

这样边数就是调和级数 \(O(n\ln n)\) 的了。

然后跑 kruskal 就行。