【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day43 博弈论

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博弈论总结

推荐一篇博客：https://www.cnblogs.com/linyihdfj/p/17447123.html

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「ABC261Ex」Game on Graph

如果是 DAG 的话，直接跑一个 dp 应该就行。

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考虑破环，对于这样一个很 navie 的环。

分讨：

1. 如果每个出口都是先手走到的。

   1. 如果这是一个偶环。

      那么，答案应该是 INFINITY。

   2. 如果这是一个奇环。

2. 如果不是每个出口都是先手走到的。

   那么可以!@%!$!@#&*

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考虑一条边会被走多次的条件：!@%!$!@#&*

BPU(Brain Processing Unit) 干烧了。

（27min passed...

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做法可以看：https://www.luogu.com.cn/article/j08motvu

正确性可以看：https://www.luogu.com.cn/article/5z5cvnc9

聪慧的，又搞忘用「最短路松弛的方式」去转移带环的图上 dp 这个神秘的 trick 了。/kk

实际上，算法的本质是：

因为，我们最终的结果是要求最小值，所以其实转移就是求类似于一个最短路的东西。

如果两个转移方程都是取 $min$，那么就是最短路了。

$f_{u,0}$ 是可以转移，并正常入队的，这个的正确性其实是源于 dijkstra 的，取出来的时候就保证一定是取到真正的最小值了。

但是由于 $f_{u,1}$ 的转移是取 $max$，所以我们必须等她所有的转移都转移完了，保证了她取到了真正的最大值，才能入队来进一步转移。

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注意必须是把所有出度为 $0$ 点都先放在优先队列里面，然后再一起跑一边 dijkstra，不然 $f_{u,0}$ 更新会错，进而导致 $f_{u,1}$ 也错。

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「AGC048D」Pocky Game

没救，没思路。

（10min passed...

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https://www.luogu.com.cn/article/aet4fh76

相关证明：

结论：

• 因为我们可以一次性拿掉多出来的，这样一定不劣。

  同时，如果第一堆足够的多，先手可以每次只拿一个，挨到后手一旦把除了第一堆的拿完，然后再一次性拿完。

推论：（一个不太严谨的证明

• 所以，占据一个很多的堆对双方都是至关重要的。

  为了先占据这个堆，双方一开始肯定都是一堆一堆的拿，后面在一个一个的拿。（这其实就是题解里面说的那个过程。

反正，这个结论不算很好想啊。

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转移方程里面当 $a_r\ge g_{l+1,r}$ 的时候，要加上 $f_{l,r-1}$ 是因为，我们在逼迫后手放弃可能让她制胜的 $a_r$ 之后，还需要保证自己还需要让 $a_l$ 在 $[l,r-1]$ 内取胜。

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「BZOJ2688」Green Hackenbush

考虑一个 dp。

$f_{i,j}$：表示用 $i$ 个节点构成的一棵树其 SG 值为 $j$ 的概率。

有转移：

$$f_{i,(x+1)\oplus (y+1)}={\displaystyle \frac{1}{H(i)}}\sum _{l=0}^{i-1}\sum _x\sum _y(H(l)f_{l,x})\times (H(i-l+1)f_{i-l+1,y})$$

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「POI1999」多边形之战

如果我们先把黑色三角形拎出来的话，剩余的图形应该之多是三个多边形。

我们设这三个多边形内分别被划分成的三角形个数为 $x,y,z$。

相当于，每次操作可以令这三个数中的一个 $-1$，然后谁先把其中两个数减成 $0$，谁就输。

显然可以转化为有向图游戏，暴力求 SG 的话应该是 $O(n^3)$ 的。

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感觉跟三个数的奇偶有点关系。

我们可以先对这三堆对 $2$ 取模。（但是又感觉怪怪的。

（20min passed...

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https://www.luogu.com.cn/article/r9xkv6qz

确实是奇偶但不是这么用的。题解还是应该是对所有的状态讨论（不过是对 $2$ 取了模。

关键在于，如果让某个人一直拿到 110 的局面，那么她就必败。

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https://www.luogu.com.cn/article/qlpc93gx

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「中山市选2009」谁能赢呢？

一道经典的「二分图博弈」在棋盘问题上的应用。

https://www.luogu.com.cn/article/h8a79k3i