【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day37 计数 dp

【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day37 计数 dp

https://www.becoder.com.cn/contest/5555

T1,2 easier

1,5,(6,3),(2,7),8,4

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「CQOI2011」放棋子

做过。

考虑容斥。

二维二项式反演？

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感觉用二项式反演，转化为逆向问题反而不好做，考虑一个 dp 直接做。

\(f_{i,j,k}\)：用前 \(k\) 个颜色，放置在恰好 \(i\) 行，\(j\) 列中。

\[f_{i,j,k}=\sum_{p=0}^{j-1}f_{i,p,k-1}\times ... \]

又死了，显然最后这个颜色 \(k\) 在放置 \((j-p)\) 列的同时，可以再放在若干行上。

（dp 转移还是需要加强啊，想想某一个特定元素的所有情况，并消除她们的贡献之后来划分子问题。

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\[f_{i,j,k}=\sum_{l\in[0,i],r\in[0,j]}[(i-l)(j-r)\ge a_k]\left(f_{l,r,k-1}{n-l\choose i-l}{m-r\choose j-r}g_{i-l,j-r,a_k} \right) \]

\(g_{i,j,k}\)：将 \(k\) 个同色棋子恰好填满 \(i\) 行，\(j\) 列。

\[g_{i,j,k}=\frac 1{k!}((ij-(k-1))g_{i,j,k-1}+ij(g_{i-1,j,k-1}+g_{i,j-1,k-1}+g_{i-1,j-1,k-1})) \]

相当于我们先钦定每个元素不同，然后分讨这个元素插入进去之后的影响。

胡对了！！！

（虽然时间复杂度 \(O(n^2m^2\sum a)\) 没有题解的 \(O(n^2m^2c)\) 优，但是好歹她对了。😁

与题解不同的部分就在于 \(g\) 的求解上面（题解的求法可以看 luogu 的代码。

题解那个也挺对的，就是：所有的 - 不合法的。

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「ARC117C」Tricolor Pyramid

之前好像碰过这道题，但是没有 A 来着（

把原字符集映射到 \(1\sim 3\)。

然后不同的取第三者，就相当于异或。但是相同怎么办啊。

15min passed...（又想了一些奇怪的东西。

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（瞄了一眼题解，发现 \(\bmod3\)

实际上，最开始这个思路大体是对的，就是要找到一个合适的运算来表达这种操作，然后再通过这个运算的一些性质来合并计算整个过程。

\(a,b\) 合并就等价于：\(-(a+b)\bmod 3\)。

（真就乱试啊。

现在问题就简单了，就是要算每个底部元素对顶部的贡献次数。（注意通过 \(n\) 的奇偶来判一下最后的符号。

相当于每次选择是否向右走一步，所以 \(i\) 的贡献次数就应该是 \(\displaystyle{n-1\choose i-1}\)。

然后就没了？

5min passed...

注意，因为我们的阶乘可能整除 \(3\)，所以必须要用 lucas

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「AGC035D」Add and Remove

\(n\le 18\)？？？

区间 dp？

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实际上所有的操作，可以视作一个长度为 \(n-2\) 的值域在 \([1,n]\) 每个元素互不相同的序列。

感觉这道题大体的思路应该是：

1. 通过一种神秘的方法，对于一种策略，可以等价知道每个元素对答案的贡献；（尝试过用 dag 计数来理解。
2. 根据上面找到的这种等价方式，将问题转化。

20min passed...

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https://www.luogu.com.cn/article/sh7ab2sh

首先要意识到，最后剩下的两个数一定是 \(a_1,a_n\)。这个可以反证。

其实这种 “倒着思考” 可以视作是一种思考转移的策略。

而每次删掉最后这一个元素的时候，对两侧的贡献的系数在转移的时候跟着转移，实际上就是上面第一点提到的这个系数问题。

把系数放在状态里面。

可以证明的是，对一个区间存在的 \(cl,cr\) 不会相同。

所以总的状态数是 \(O(2^n)\)，而每个 dp 值只会被用到一次，所以直接打爆搜就行（否则会 MLE。