【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day36 dp 优化 - 状态设计

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【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day36 dp 优化 - 状态设计

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最后一题较难。

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「NOIP2023」天天爱打卡

考虑 dp。

$f_{i,j}$：前 $i$ 天，到第 $i$ 天为止连续打卡 $j$ 天。

有转移：

$$\begin{gathered} f_{i,0}=max(f_{i,j}) \\ {f}_{i,j}=max(f_{i-1,j-1}-d+w(i,j)) \\ w(i,j)=\sum _{k=1}^m[x_k=i\wedge j\ge y_k]v_k \end{gathered}$$

2min finished bf. Let me try try. (

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bf $O(nkm)$

好的，这显然是对的，现在考虑优化。

（nearly FAKE

首先可以对 $x$ 离散化，对每一个 $x$ 的 $y$ 排序之后，$w$ 可以在 $O(\log m)$ 计算，现在就是 $O(km\log m)$ 的。

肯定这个 $k$ 是不能要的。

上面这种状态根本没有优化前途（有点浪费时间。😥

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（FAKE

还是先离散化。

重新定义状态：

$f_i$：前 $i$ 个任务剩下的最大体力值。

转移的时候，枚举一下当前这个天数的任务，完成了前多少个。均摊下来应该就对了。

13min

嘶，不太对。因为我们每次相当于钦定了一个极长区间打卡，问题就出在这个极长上面，因为有可能这个区间内会有其他的任务，所以代价不一定只有当前这个任务给定，故而并不能确定这个代价，也就不能确定这是极长区间是最优的了。

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（稍微瞄了一眼题解（wtf，线段树？

好吧，那就返璞归真。

现在正片开始，我要重新理一下思路。

刚才 $O(km\log m)$ 的做法的问题主要在于，始终还是没有脱离 $k$，导致难以优化。

我们直接定义：

$f_i$：前 $i$ 天，剩余体力值最大。

转移的话，直接枚举最后一次连续区间：

$$\begin{gathered} f_i=max(f_{i-1},f_j-(i-j-1)d+w(j+2,i)) \\ w(i,j)=\sum _{k=1}^m[x_k-y_k+1\le i\le j\le x_k]v_k \end{gathered}$$

这样状态数就舒服了不少。

$max$ 里面这一整坨用线段树维护就好。

具体地：

先把每个任务放在她的右端点。

1. 先 $[1,i]$ 区间 $-d$；
2. 然后对于右端点在 $i$ 的每一个任务，我们对 $[x-y+1,x]$ 区间 $+v$。
3. 然后查询 $[i-k+1,i]$ 的区间最大值就行了。

注意到有且只有 $j=x-y+1,i=x$，所以我们把 $x-y-1$ 和 $x$ 离散化做一遍就行了。

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好好生生的总结一下这道简单题：

思路是简单的，但是不算很自然，容易想歪的。难评，所以 dp 题还是要多见，力争一次想对。😭