【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day32 数位 dp
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「SDOI2013」淘金
就是要算前 \(k\) 大的和。
考虑一个位置 \((i,j)\) 在变化完了之后的金子个数。（也即逆变换。
设：\(f^\prime(x)\) 表示在 \(1\sim N\) 范围内，数位积为 \(x\) 的个数。
所以这个个数就是 \(f^\prime(i)f^\prime(j)\)。
考虑用数位 dp，根号分治转移，算这个 \(f^\prime(x)\)，应该可以做到 \(O(12\sqrt{9^{12}})\)。
16:30 passed...
（主要是很不确定上面这个东西的正确性，然后去参考了一下题解，发现似乎没有我这种做法。😅
其实这个题最核心的地方，就是要缩减 dp 的状态数，上面是根号分治，下面是其他两个主流做法：
-
利用每个元素范围都是 \(1\sim9\)，所以最终成绩一定可以表示为：\(2^a3^b5^c7^d\)。
这样状态数就是 \(O(\log_2N\log_3N\log_5N\log_7N)\approx 244,411\) 的了。
-
在一个较大范围内，不同的 \(f(x)\) 的个数实际上是不多的。
当 \(1\le x\le 10^{12}\)，个数为 \(8282\)。
所以我们考虑把这 \(8282\) 个先跑出来，然后在这 \(8282\) 个之间转移就行了。
（主打的就是一个神奇结论。
嘶，我傻了。我那个根号分治只适用于算小于等于 \(x\) 的。
而且状态是离散的，所以也没办法算用差分算出恰好等于的个数。
emmm，所以假了。
然后我们现在是要求乘积的前 \(k\) 大。
直接拉取出来是 \(9^{12}\) 的级别的，显然不行。
我们对于每一个 \(i\)，肯定是从大到小去匹配，指针的移动是具有单调性的，拿一个大根堆动态维护就行了。
「CF55D」Beautiful numbers
一定有 \(1\le y\le 9\)。
我们 \(2^9\) 去枚举 \(x\) 中非 \(0\) 数有哪些。这样总的模数也就确定了，并且这个模数不会超过 \(9\times8\times7\times5\approx2520\)。
直接定义：\(f_{i,j}\) 前 \(i\) 位，和对当前枚举的模数取模余数为 \(j\) 的个数。
然后就没了。
（eh? 6min 速切 *2500？而且还打了这么打一串文字？
