【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day32 数位 dp

合集 - Solution Set(47)

1.【题解】Solution Set - 树论2024-07-202.【题解】Solution Set - 容斥原理/二项式反演2024-07-203.【题解】Solution Set - 杂题选讲「刘君实」2024-07-254.【题解】Solution Set - 新高一矩阵选讲「陶治霖」2024-08-065.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day1 数据结构2024-08-076.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day2 线段树2024-08-087.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day3 权值线段树、动态开点、主席树2024-08-098.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day5 扫描线2024-08-129.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day7 线段树分裂与合并、平衡树2024-08-1410.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day8 并查集和可持久化并查集2024-08-1511.【题解】Solution Set - NOIP2024模拟赛22024-08-1812.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day10 树的直径、重⼼、中⼼2024-08-1913.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day9 树上问题2024-08-1614.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day12 树上启发式合并2024-08-2115.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day13 点分治、点分树2024-08-2216.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day14 CDQ分治2024-08-2317.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day17 整体二分2024-08-2918.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day18 优化建图2024-08-3019.【题解】Solution Set - NOIP2024模拟赛42024-09-0120.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day20 DP常⻅模型1「序列」2024-09-0221.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day21 DP常⻅模型2「背包」2024-09-0322.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day22 DP常⻅模型 1「序列」& 2「背包」2024-09-0423.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day23 DP常⻅模型3「区间」2024-09-0524.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day24 DP常⻅模型3「区间」2024-09-0625.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day26 概率期望 dp2024-09-0926.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day27 dp2024-09-1027.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day28 树形 dp2024-09-12

28.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day32 数位 dp2024-09-19

29.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day36 dp 优化 - 状态设计2024-09-2330.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day37 计数 dp2024-09-2931.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day43 博弈论2024-10-0432.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day44-45 图论2024-10-0533.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day47 最小生成树2024-10-0834.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day50 图的连通性相关2024-10-1435.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day52 图论杂题2024-10-1536.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day53 图论杂题22024-10-1537.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day55 图论杂题32024-10-1738.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day56 2-sat & 哈希2024-10-1839.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day57 字符串 hash2024-10-2140.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day58 字符串2024-10-2241.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day60 数学2024-10-2442.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day62 贪心2024-10-2843.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day63 贪心2024-10-3144.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day71 贪心2024-11-0745.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day77 反悔贪心2024-11-1446.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day83 dp2024-11-2147.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day87 二分 & 杂题2024-11-25

收起

【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day32 数位 dp

https://www.becoder.com.cn/contest/5537

order：1,3,5,6,2,4

---

「SDOI2013」淘金

就是要算前 $k$ 大的和。

考虑一个位置 $(i,j)$ 在变化完了之后的金子个数。（也即逆变换。

设：$f^{\prime }(x)$ 表示在 $1\sim N$ 范围内，数位积为 $x$ 的个数。

所以这个个数就是 $f^{\prime }(i)f^{\prime }(j)$。

考虑用数位 dp，根号分治转移，算这个 $f^{\prime }(x)$，应该可以做到 $O(12\sqrt{9^{12}})$。

---

16:30 passed...

（主要是很不确定上面这个东西的正确性，然后去参考了一下题解，发现似乎没有我这种做法。😅

其实这个题最核心的地方，就是要缩减 dp 的状态数，上面是根号分治，下面是其他两个主流做法：

1. 利用每个元素范围都是 $1\sim 9$，所以最终成绩一定可以表示为：$2^a{3}^b{5}^c{7}^d$。

   这样状态数就是 $O({\log }_{2}N{\log }_{3}N{\log }_{5}N{\log }_{7}N)\approx 244,411$ 的了。

2. 在一个较大范围内，不同的 $f(x)$ 的个数实际上是不多的。

   当 $1\le x\le {10}^{12}$，个数为 $8282$。

   所以我们考虑把这 $8282$ 个先跑出来，然后在这 $8282$ 个之间转移就行了。

   （主打的就是一个神奇结论。

---

嘶，我傻了。我那个根号分治只适用于算小于等于 $x$ 的。

而且状态是离散的，所以也没办法算用差分算出恰好等于的个数。

emmm，所以假了。

---

然后我们现在是要求乘积的前 $k$ 大。

直接拉取出来是 $9^{12}$ 的级别的，显然不行。

我们对于每一个 $i$，肯定是从大到小去匹配，指针的移动是具有单调性的，拿一个大根堆动态维护就行了。

---

---

「CF55D」Beautiful numbers

一定有 $1\le y\le 9$。

我们 $2^9$ 去枚举 $x$ 中非 $0$ 数有哪些。这样总的模数也就确定了，并且这个模数不会超过 $9\times 8\times 7\times 5\approx 2520$。

直接定义：$f_{i,j}$ 前 $i$ 位，和对当前枚举的模数取模余数为 $j$ 的个数。

然后就没了。

（eh? 6min 速切 *2500？而且还打了这么打一串文字？