【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day24 DP常⻅模型3「区间」

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24.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day24 DP常⻅模型3「区间」2024-09-06

【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day24 DP常⻅模型3「区间」

https://www.becoder.com.cn/contest/5511

「CF1572C」Paint

一个结论：钦定一个区间最终变成的颜色为这个区间的右端点颜色，是不劣的。（纯感觉出来的😅

Why?（写完之后又想了想

考虑数学归纳。

显然结论对于区间长度为 $1$ 的成立。

对于 $[l, r]$ 如果结论成立，我们在 $r + 1$ 加入一个新颜色 $a_{j}$ 。

如果：

$a_{j - 1} = a_{j}$ ， $[l, r + 1]$ 肯定等于 $[l, r]$ 的最优解。
$a_{j - 1} \neq j_{j}$ ，因为 $[l, r]$ 变成右端点是最优的，我们与其把 $a_{j}$ 变成 $a_{j - 1}$ ，不如直接把 $[l, r]$ 花费一次变成 $a_{j}$ 。

$f_{i, j}$ ：区间 $[i, j]$ 变成 $a_{j}$ 颜色的答案。

暴力枚举断点还是 $O (n^{3})$ 的。

我们把 $a_{j}$ 的所有位置拿出来，如果断点处于两个 $a_{j}$ 之间，其实是不优于断点取在其中一个 $a_{j}$ 上的。（因为我们显然把更多的无关元素堆在一起是更容易出最优解的。

又因为为每个元素出现次数不会超过 $20$ ，这样我们每次转移就是 $O (20)$ 的了。

「ABC219H」Candles

和「BalticOI 2009 Day1」甲虫这道题是类似的，不同的是现在这道题算是加强版，每个位置的初始值由定值变成了变量。

但其实感觉本质是一样的。

用同样的做法，枚举有多少蜡烛是对答案产生贡献的，算减少的最少量。

但是实际上这是错的：WA 74pts

因为这里每个地方的蜡烛并不是等价的，对于一段区间我们可能并不会把她们全部选完。

Hack:

（这里的 5 1 就不会取，答案应该是 14

解决办法是，我们不枚举，而直接放在状态里面去 dp，这样就可以考虑到区间内有些没有贡献的点了。

具体的，我们定义 $f_{i, j, k, 0 / 1}$ 表示熄灭区间 $[i, j]$ 之后，还有 $k$ 个蜡烛会对答案产生正向贡献，最后停在左边。右边。

「HAOI2016」字符合并

$f_{i, j, s}$ ：区间 $[i, j]$ ，缩成了 $s$ 的最优解。（ $s \in [0, 2^{k - 1}]$ 。

状态数就已经了 $10^{7}$ 了，发现转移需要 $O (n)$ ，GG 了。

想办法换一个更好的状态定义。

12min passed...

确实没有想到什么更好好刻画状态的定义方式了。

？？？状态定义就是这个？那我再想想转移。

哦！

有点愚蠢，填表法肯定可以做（但是我觉得不是很好想，之前还在想枚举断点来着😅），下面考虑刷表法。

我们钦定每次 $s$ 的长度大于等于 $k$ 之后就一定会合并起来（如果不合并的话，这种方案一定会被其她的 dp 算到。

从 $[l, r, s] \to [l, r + 1, s + c]$ ， $c$ 是原串 $r + 1$ 位的值。现在就是 $O (1)$ 转移了。

emmmmmm，我就说不对啊，肯定还是得枚举断点的，不然会 WA 5pts。

Hack x1:

（算 $f_{1, 4, *}$ 的时候要从 $f_{1, 2, 0}$ 和 $f_{3, 4, 0}$ 转移过来。

不行了，看题解去了。

？？？

枚举组成当前 st 末位的区间 $[l, j]$ ，发现只有区间长度为 $1, k, 2 k - 1 \dots$ 的合法，所以每次减 $k - 1$ ，于是时间复杂度： $O (n^{2} ⌊ \frac{n}{k - 1} ⌋ 2^{k - 1})$ 。

md，这不就是我一开始想的吗？？？什么精细实现。😥

算了一下确实好像不会超过 $5 \times 10^{8}$ 。

「AGC062B」Split and Insert

我们重编号一下，可以变成初始任意排列，最后要求升序。

$f_{i, j, k}$ ：在前 $k$ 次操作内将 $[i, j]$ 变成升序的最优解。

有转移：

f_{i, j, k} = {min}_{l = i}^{j - 1} (f_{i, j, k - 1}, f_{i, l, k - 1} + f_{l + 1, j, k - 1} + (j - l) \times c_{k})

然后 $O (n^{3} k)$ 做完了？nb，这都有紫。

好像一开始是那个转化不太行。

问题不大，我们直接把 $c_{i}$ reverse 一下也是同样的效果。

哦有点道理，我们 $f_{i, j, k}$ 中的 $[i, j]$ 不能表示下标，而应该是值域。

这样算出来的贡献才是准确的。

「Gym 102798K」Tree Tweaking

我们对所有的区间取并集。

\sum d e p_{i} = \sum s i z_{i}

一点思路没有。

https://www.cnblogs.com/rainybunny/p/15164792.html

注意：这里较平常的笛卡尔树，是把「下标」和「值」交换了的。所以是「值」二叉搜索树，「下标」堆（其实这样才正好是题目的要求。

我们算的就是最小子树大小之和。

「AGC028D」Chords

圆上的两条连边相交当且仅当，这两条线的区间有交且不存在包含关系。

https://www.luogu.com.cn/article/gh1j0wpp

posted @ 2024-09-06 08:29 CloudWings 阅读(37) 评论(0) 编辑收藏举报

CloudWings

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