【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day23 DP常⻅模型3「区间」

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【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day24 DP常⻅模型3「区间」

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「CF1572C」Paint

一个结论：钦定一个区间最终变成的颜色为这个区间的右端点颜色，是不劣的。（纯感觉出来的😅

Why?（写完之后又想了想

考虑数学归纳。

显然结论对于区间长度为 $1$ 的成立。

对于 $[l,r]$ 如果结论成立，我们在 $r+1$ 加入一个新颜色 $a_j$。

如果：

1. $a_{j-1}=a_j$，$[l,r+1]$ 肯定等于 $[l,r]$ 的最优解。
2. $a_{j-1}\ne j_j$，因为 $[l,r]$ 变成右端点是最优的，我们与其把 $a_j$ 变成 $a_{j-1}$，不如直接把 $[l,r]$ 花费一次变成 $a_j$。

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$f_{i,j}$：区间 $[i,j]$ 变成 $a_j$ 颜色的答案。

暴力枚举断点还是 $O(n^3)$ 的。

我们把 $a_j$ 的所有位置拿出来，如果断点处于两个 $a_j$ 之间，其实是不优于断点取在其中一个 $a_j$ 上的。（因为我们显然把更多的无关元素堆在一起是更容易出最优解的。

又因为为每个元素出现次数不会超过 $20$，这样我们每次转移就是 $O(20)$ 的了。

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「ABC219H」Candles

和 「BalticOI 2009 Day1」甲虫 这道题是类似的，不同的是现在这道题算是加强版，每个位置的初始值由定值变成了变量。

但其实感觉本质是一样的。

用同样的做法，枚举有多少蜡烛是对答案产生贡献的，算减少的最少量。

但是实际上这是错的：WA 74pts

因为这里每个地方的蜡烛并不是等价的，对于一段区间我们可能并不会把她们全部选完。

Hack:

3
1 5
5 1
10 20

（这里的 5 1 就不会取，答案应该是 14

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解决办法是，我们不枚举，而直接放在状态里面去 dp，这样就可以考虑到区间内有些没有贡献的点了。

具体的，我们定义 $f_{i,j,k,0/1}$ 表示熄灭区间 $[i,j]$ 之后，还有 $k$ 个蜡烛会对答案产生正向贡献，最后停在左边。右边。

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「HAOI2016」字符合并

$f_{i,j,s}$：区间 $[i,j]$，缩成了 $s$ 的最优解。（$s\in [0,2^{k-1}]$。

状态数就已经了 ${10}^7$ 了，发现转移需要 $O(n)$，GG 了。

想办法换一个更好的状态定义。

12min passed...

确实没有想到什么更好好刻画状态的定义方式了。

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？？？状态定义就是这个？那我再想想转移。

哦！

有点愚蠢，填表法肯定可以做（但是我觉得不是很好想，之前还在想枚举断点来着😅），下面考虑刷表法。

我们钦定每次 $s$ 的长度大于等于 $k$ 之后就一定会合并起来（如果不合并的话，这种方案一定会被其她的 dp 算到。

从 $[l,r,s]\to [l,r+1,s+c]$，$c$ 是原串 $r+1$ 位的值。现在就是 $O(1)$ 转移了。

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「AGC062B」Split and Insert

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「Gym 102798K」Tree Tweaking

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「AGC028D」Chords