【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day23 DP常⻅模型3「区间」

【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day24 DP常⻅模型3「区间」

https://www.becoder.com.cn/contest/5511


「CF1572C」Paint

一个结论:钦定一个区间最终变成的颜色为这个区间的右端点颜色,是不劣的。(纯感觉出来的😅

Why?(写完之后又想了想

考虑数学归纳。

显然结论对于区间长度为 1 的成立。

对于 [l,r] 如果结论成立,我们在 r+1 加入一个新颜色 aj

如果:

  1. aj1=aj[l,r+1] 肯定等于 [l,r] 的最优解。
  2. aj1jj,因为 [l,r] 变成右端点是最优的,我们与其把 aj 变成 aj1,不如直接把 [l,r] 花费一次变成 aj

fi,j:区间 [i,j] 变成 aj 颜色的答案。

暴力枚举断点还是 O(n3) 的。

我们把 aj 的所有位置拿出来,如果断点处于两个 aj 之间,其实是不优于断点取在其中一个 aj 上的。(因为我们显然把更多的无关元素堆在一起是更容易出最优解的。

又因为为每个元素出现次数不会超过 20,这样我们每次转移就是 O(20) 的了。


「ABC219H」Candles

「BalticOI 2009 Day1」甲虫 这道题是类似的,不同的是现在这道题算是加强版,每个位置的初始值由定值变成了变量。

但其实感觉本质是一样的。

用同样的做法,枚举有多少蜡烛是对答案产生贡献的,算减少的最少量。

但是实际上这是错的:WA 74pts

因为这里每个地方的蜡烛并不是等价的,对于一段区间我们可能并不会把她们全部选完。

Hack:

3
1 5
5 1
10 20

(这里的 5 1 就不会取,答案应该是 14


解决办法是,我们不枚举,而直接放在状态里面去 dp,这样就可以考虑到区间内有些没有贡献的点了。

具体的,我们定义 fi,j,k,0/1 表示熄灭区间 [i,j] 之后,还有 k 个蜡烛会对答案产生正向贡献,最后停在左边。右边。


「HAOI2016」字符合并

fi,j,s:区间 [i,j],缩成了 s 的最优解。(s[0,2k1]

状态数就已经了 107 了,发现转移需要 O(n),GG 了。

想办法换一个更好的状态定义。

12min passed...

确实没有想到什么更好好刻画状态的定义方式了。


???状态定义就是这个?那我再想想转移。

哦!

有点愚蠢,填表法肯定可以做(但是我觉得不是很好想,之前还在想枚举断点来着😅),下面考虑刷表法。

我们钦定每次 s 的长度大于等于 k 之后就一定会合并起来(如果不合并的话,这种方案一定会被其她的 dp 算到。

[l,r,s][l,r+1,s+c]c 是原串 r+1 位的值。现在就是 O(1) 转移了。


「AGC062B」Split and Insert


「Gym 102798K」Tree Tweaking


「AGC028D」Chords

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