【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day22 DP常⻅模型 1「序列」& 2「背包」

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【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day22 DP常⻅模型 1「序列」& 2「背包」

https://www.becoder.com.cn/contest/5507

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「SCOI2003」字符串折叠

考虑区间 dp。转移的时候，对于当前状态（区间），枚举左边的循环节长度，用 kmp 求出最长循环距离，然后划分子问题。

如果每次钦定左边取到最长的循环长度，其实算强行加上了一个错误的贪心（虽然有 90pts

我们划分子问题的时候就直接划分就行了，最后看整体能不能压缩就行了。

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「ABC221G」Jumping sequence

这道题难做的原因是，横纵坐标在不同的走法下地位不一样，这导致我们无法分开处理。

我们考虑把整个坐标系旋转 ${45}^{\circ }$。每个操作变换为：（每个操作可以视作一个向量

$$\begin{array}{rl}L(-d,0)& \to L^{\prime }(-d,-d)\\ R(d,0)& \to R^{\prime }(d,d)\\ U(0,d)& \to U^{\prime }(d,-d)\\ D(0,-d)& \to D^{\prime }(-d,d)\end{array}$$

这样往四个方向走的时候，横纵坐标都会变化 $\pm d$，这个时候就可以分开处理了。

剩下的简单转化可以参见：这篇题解。

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「BZOJ1190 HNOI2007」梦幻岛宝珠

就是 0-1 背包，但是背包容量为 $2^{30}$。

假如所有的 $b$ 都相同，显然我们可以把所有的 $w_i\leftarrow w_i/2^b,W\leftarrow W/2^b$，现在背包的容量一定不会超过 $\sum a\le 10n$。

所以，我们考虑把 $b$ 不同的分开跑背包 $f$。

现在考虑背包的合并。

考虑把 $W$ 而也二进制拆分。

（没想出来。

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https://www.luogu.com.cn/article/nnsuyx54

Hummmmm，似乎也算是对 $W$ 二进制拆分。因为在第一个 dp 里面，我们对于任意的容量，都算了答案。而在合并的时候，我们只需要知道 $W$ 的答案。

为了合并，我们考虑重新拿出一个 dp：$g_{i,j}$ 表示 $b$ 小于等于 $i$ 的合并起来，当前 $b=i$ 的选择了 $j$ 个，同时我们要求权值和小于等于 $W$。

有转移：

$$g_{i,j}=\underset{k=0}{\overset{j}{max}}\{g_{i-1,k<<1|[m>>(i-1))\mathrm{\&}1]}+f_{i,j-k}\}$$

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「CF1866E」Elevators of Tamem

有点奇怪，只有三台电梯。

我们要设计的状态应该跟上一次这台电梯使用时间有关，因为在此期间的 $A$ 我们都可以使用，并且我们一定会选择最小的用。

（md，一开始以为状态数是 $O(N^3)$ 的，还不敢这么定义。😥

$f_{i,a,b,c}$ 第 $i$ 次事件 1 时，三台电梯上一次使用时间分别是 $a,b,c$ 的最优解。

$g_{t,i,j}$ 第 $t$ 台电梯，在 $[i,j]$ 时间内可用时的最小花费。

$ti(i)$ 第 $i$ 次事件 1 时的时间。

$$\begin{gathered} f_{i,i,b,c}=\underset{k=0}{\overset{i-1}{min}}(f_{i-1,k,b,c}+g_{0,ti(k)+1,ti(i)}\times |y_k-x_i|)+A_{ti(i)}|y_i-x_i| \\ {f}_{i,a,i,c}=\underset{k=0}{\overset{i-1}{min}}(f_{i-1,a,k,c}+g_{1,ti(k)+1,ti(i)}\times |y_k-x_i|)+A_{ti(i)}|y_i-x_i| \\ {f}_{i,a,b,i}=\underset{k=0}{\overset{i-1}{min}}(f_{i-1,a,b,k}+g_{2,ti(k)+1,ti(i)}\times |y_k-x_i|)+A_{ti(i)}|y_i-x_i| \end{gathered}$$

这样我们就有了一个 $O(Q^4)$ 的做法。bf

（调了好久……

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现在考虑优化。

实际上，一定是有 $i=max\{a,b,c\}$，所以我们在枚举 $a,b,c,k$ 的时候可以少枚举一个，钦定她等于 $i-1$。这样我们精细实现一下，就变成 $O(n^3)$ 了。

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「CF500F」New Year Shopping

题目的意思就是可以在一个区间都加入一个物品，查询单点的 0-1 背包。

一个线段树分治的做法。

把每个物品的区间分成线段树上的 $\log$ 个节点，并且挂上去。

把每个询问挂在叶子节点上。

一个询问可以用的物品就是其到根路径上的所有物品，我们维护以下这些物品，到叶子节点的时候 0-1 背包就行。

时间复杂度 $O(bn\log t)$