【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day21 DP常⻅模型2「背包」

合集 - Solution Set(47)

21.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day21 DP常⻅模型2「背包」2024-09-03

【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day21 DP常⻅模型2「背包」

https://www.becoder.com.cn/contest/5505

「BZOJ4987」Tree

答案显然是一个连通块，否则不优。

我们在每个连通块深度最小的点统计答案。

树上依赖背包就行。

$f_{i, j, 0 / 1}$ 从当前根 $i$ 开始，是否要回到当前根节点。

$f_{i, j, 2}$ 从当前子树任意根节点开始，任意节点结束。

$2$ 的转移不能写成钦定必须经过 $i$ 的了：https://www.becoder.com.cn/submission/2594787

「雅礼集训 2018 Day10」贪玩蓝月

插入元素 $O (p)$ 是好做的。

删除元素的话，如果只有一端，我们直接记录每个版本，然后回退就行。

所以，我们考虑把这个双段队列拆分成两个栈，这样就好处理了。

问题是如果一个栈空了，需要从另一个栈的底部借一个过来，怎么办？

我们直接把非空的那个栈从中间剖开，两边暴力重算，这样时间复杂度是对的。

Why?

考虑势能分析。

定义势能函数 $h ()$ 为两个栈的大小之差的绝对值。

每次加入元素最多会使 $h ()$ 加一。

而每次暴力重构会让 $h ()$ 归 $0$ 。所以时间复杂度是均摊下来就是插入次数 * p。

现在我们 dp 值维护好了，问题在于查询，我们需要合并两个 dp 值。

~~显然可以 max+ 卷积合并，然后 $O (p)$ 查询~~（但是这玩意没有凸性，不能闵可夫斯基和

考虑枚举一个栈内的 dp 值 $d p_{i}$ ，在另一个栈区间查询 $[l - i, r - i]$ 的 dp 最大值，因为要取模所以其实就是两个滑动窗口。两种处理方式：

单调队列。分成两个区间分开处理；
st 表。这样修改的时候带个 $\log$ 。

「SDOI2017」苹果树

如果没有 $t - h \leq k$ ，那么就是一个裸的树上依赖背包。

一个结论：最深的那个点一定是叶子节点。否则往下走一定更优。

我们不妨去枚举枚举这个叶子节点，现在我们能选取的个数就是 $k$ 。同时整棵树被分成了两个部分，一部分是先序遍历在其前面的，另一部分是后序遍历在其前面的。

我们分别按先/后序遍历，预处理出这个两个多重背包的前缀。

自己的思路大体是对了，但是还有很多细节，具体可以参见 Soluiotn

代码里面的 $g$ 计算的范围是先序遍历在 $i$ 前面和 $i$ 这条链上的点。 $f$ 是后序遍历在 $i$ 前面的点。

关于单调队列优化多重背包。

（我不会所以来口胡一下。

先把朴素的 $O (m \sum c n t_{i})$ 转移拿出来：

$f_{i, j} = {max}_{k = 0}^{c n t_{i}} {f_{i - 1, j - k \times w_{i}} + k \times v_{i}}$
但是这道题 $w_{i} = 1$ 我们可以很聪明的把式子改写成：

$f_{i, j} = {max}_{k = 0}^{c n t_{i}} {f_{i - 1, j - k} - (j - k) \times v_{i}} + j \times v_{i}$
这样就变成真正的单调队列的板板了。如果 $w_{i}$ 任意的话， $j - k \times w_{i}$ 不再连续，所以就不能用这种比较巧妙的东西，得改循环顺序，具体参见 OI-Wiki。