【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day17 整体二分

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【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day17 整体二分

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二逼平衡树 /【模板】树套树

rt. 树套树。

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「国家集训队」矩阵乘法

整体二分板子。

如果每次二分的时候都 $O(n^2)$ 重新算二维前缀的话，时间复杂度是 $O(n^3\log n+q\log n)$。非常卡（实际上没分）。

考虑记录每个元素的值和坐标，然后排序。

每次把权值在 $[l,mid]$ 内的加入到一个二维树状数组中，然后再查询。

因为：

1. 每层每个点会且仅会被加入一次；
2. 每层每个询问会且仅会询问一次；

每次修改和查询都是 $O({\log }^{2}n)$，一共 $\log n$ 层，所以总时间复杂度为 $O((n^2+q){\log }^{3}n)$。

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「BalticOI 2004」Sequence 数字序列

做过。

对于一个 $b_i$ 如果在决定取 $x,x+1$ 的时候，其实确定的是一种趋势。比如选择了 $x$ 那么最终 $b$ 的取值一定 $\le x$。

所以我们考虑整体二分。

注意到我们求出的 $b$ 是满足的不减的。

输入时 $a_i\leftarrow a_i-i$，输出时再把 $i$ 加回去，就可以保证 $b$ 严格单增了。

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「HNOI2015」接水果

一句话题意：

给定一棵树上的一堆路径，路径有权值。每次询问给定一个路径问这条路径的子路径权值第 $k$ 小。

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难点在于怎么判断水果 $(u,v)$ 是否包含盘子 $(x,y)$。（不妨 $dfn[u]<dfn[v]\wedge dfn[x]<dfn[y]$。

一条路径 $(u,v)$ 包含 $(x,y)$ 的充要条件为 $S$。

分讨：（这个分讨其实感觉还挺难想到的，可以当成一个 trick 吧

1. $\text{lca}(x,y)=x$。（显然 $y$ 一定是不能作为 $\text{lca}(x,y)$ 的。
   令 $z$ 为从 $x$ 到 $y$ 路径上的第一个点。
   那么：

   $$S\iff \{\begin{array}{l}dfn[u]\in [1,st[z])\\ dfn[v]\in [st[y],ed[y]]\end{array}\vee \{\begin{array}{l}dfn[u]\in [st[y],ed[y]]\\ dfn[v]\in (ed[z],n]\end{array}$$

2. $\text{lca}(x,y)\ne x$。

   那么：

   $$S\iff \{\begin{array}{l}dfn[u]\in [st[x],ed[x]]\\ dfn[v]\in [st[y],ed[y]]\end{array}$$

所以每个盘子可以视作一个矩形，水果视作一个点。

每次询问就是问包含这个点的那些矩形中权值第 $k$ 大，离线整体二分，每次扫描线即可。

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「HNOI2016」网络

每次询问，我们二分答案，check 的话就是看重要程度 $>mid$ 的是不是都被影响。

直接对于所有 $>mid$ 的路径 $+1$，然后看这个故障点是不是被覆盖了这么多次。

然后直接整体二分就行了啊。

每次我们其实只需要判断 $[mid,r]$ 因为值域大于 $r$ 的都已经判过是都被影响的了，这样就保证了时间复杂度。

如果直接树剖的话是 $O(n{\log }^{3}n)$ 的。

直接用一个 bit 维护子树和，然后每次差分修改。

这样单次路径修改就变成了 $O({\log }^{2}n)$。

总的时间复杂度为 $O(n{\log }^{2}n)$。

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「P5163」 WD与地图

先把所有操作倒过来，把断边转化为连边。

然后每个连通块维护一颗权值线段树，然后线段树合并就行了。

关于线段树合并的时间复杂度：

一次完整的线段树合并的时间复杂度 $=$ 初始状态下叶子节点的个数 $\times$ $\log V$（$V$ 是线段树的值域。

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Why?

对于最终状态的线段树上的每一个点，之前合并的时候每访问一次这个节点，一定是会合并两个叶子节点的。而且必须存在两个叶子节点来给她合并，也就是说每个节点至多会被访问的次数是其 子树的叶子节点的个数。

这样一来每层的访问次数总和就是叶子节点个数，而一共 $\log V$ 层，所以结论成立。

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所以，这道题线段树合并的时间复杂度整体是 $O(n\log n)$ 的。

但是好像不需要整体二分？直接做就好了？

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哦，原来是有向图啊。😅

有点难办，要维护强连通分量。

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pyt 告诉我的一个很聪明的想法。

如果我们知道了每次询问前的强连通分量的状态，当然可以按照之前无向图的方法来解决。

其实，我们只需要知道「每一条边第一次两端同属一个强连通分量的时间」。

显然这个时间是不早于这条边加入的时间的。

所以我们就可以直接这个时间排序（如果这个时间相同，按原始时间排），按照无向图的方式，每次线段树合并，然后查询就行了。

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现在就是要求解这个时间了。

都出现「第一次」了，所以这个时间一定是有单调性的。

考虑整体二分。

我们每次把原始时间小于等于 $mid$ 的边及其两端的点单独拎出来，跑一遍 tarjan（这样就保证了时间复杂度）。

然后每一条边看其两端是否在同一强连通分量里面，就没了。

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总结一下，听了解法之后，感觉挺对的。但是真的很难想到去求「每一条边第一次两端同属一个强连通分量的时间」这个东西。

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关于实现：（其实也挺精妙的。

我们可以直接在每一次 solve 出口的时候，直接用并查集和线段树合并维护强连通分量（不需要撤销），这样每次不管是在算答案的时候，还是跑 tarjan 的时候（每条边的两个端点都重新赋值成其强连通分量内部的代表点）前面的边的贡献都是恰好对的。