【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day14 CDQ分治

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【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day14 CDQ分治

https://www.becoder.com.cn/contest/5482

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「CF364E」Empty Rectangles

*3000 摆烂了。

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好像是所谓 “二维分治” 的板子？

https://www.luogu.com.cn/article/807acdxs

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「SDOI2011」拦截导弹

CDQ的例题，之前做过（现在试图自己再做出来。

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第二问只用在第一问里面记录每一次是从哪个 $j$​ 转移过来的，以及当前位的方案数就行了。

看了之前的代码，发现其实还不止，这里其实还需要乘上后面的方案数。

也就是说，可能性 = (前方案数 $\times$ 后方案数) $÷$ 总方案数

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下对于第一问考虑 dp。

$f_i$ 前 $i$ 个，钦定拦截第 $i$ 个能拦截的最多个数。

令：$f_0=0,h_0=inf,v_0=inf$。

有转移：

$$f_i=\underset{0\le j<i\wedge h_j>h_i\wedge v_j>v_i}{max}{f}_j+1$$

显然一个三维偏序（还有一维下标），考虑用 CDQ 将 dp 优化到 $O(n{\log }^{2}n)$。

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试着用残余的记忆，自己重新把三维偏序胡出来。下面是口嗨时间。

回忆一下 CDQ 的步骤：

1. 先把大于等于 mid 的 $h$ 分到左边，小于的分到右边。（实际上这一维最好以下标分开（这样就不用 stable_partition 了。

   考虑把左边的部分按照 $h$ 重新排序。

（口胡不下去了（因为感觉怪怪的就去看了一下之前的代码，感觉还是挺好理解，所以就不想写了（

所以下一个任务是在 15min 之内爆切 cdq（雾

结果花了20多分钟。😅

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「BZOJ2961」共点圆

实际上数据保证的是：$\mathrm{\forall }y>0$ 而 $x$ 没有限制。

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考虑形式化一下题意：

一个点 $(x,y)$ 在一个圆 $(x_i,y_i)$ 内当且仅当：

$$\begin{gathered} (x-x_i{)}^2+(y-y_i{)}^2\le x_i^2+y_i^2 \\ \iff x^2-2x_{i}x+y^2-2y_{i}y\le 0 \\ \iff y_i\ge {\displaystyle \frac{x^2-2x_{i}x+y^2}{2y}} \\ \iff y_i\ge -{\displaystyle \frac{x}{y}}{x}_i+{\displaystyle \frac{x^2+y^2}{2y}} \end{gathered}$$

我们就是要找满足上式的 $(x_i,y_i)$ 有多少个。

不会了。😥

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https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/9466396.html

这类题还是做少了，每次都是这种式子推出来，但是不知道怎么用函数去理解了。

实际上，我们也不必求出具体有多少个满足（因为这个问题严格由于原题目），而这个式子的意思其实就是每个询问相当于给了一条直线，然后每个圆心必在这条线上面。

考虑把所有的圆心维护一个下凸包，然后斜率从小到大排序，每次去切凸包找到满足条件的最大截距，然后跟直线的截距比一下大小就好了。

考虑到取 max 具有结合律，我们就可以 cdq。