【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day13 点分治、点分树

合集 - Solution Set(47)

1.【题解】Solution Set - 树论2024-07-202.【题解】Solution Set - 容斥原理/二项式反演2024-07-203.【题解】Solution Set - 杂题选讲「刘君实」2024-07-254.【题解】Solution Set - 新高一矩阵选讲「陶治霖」2024-08-065.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day1 数据结构2024-08-076.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day2 线段树2024-08-087.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day3 权值线段树、动态开点、主席树2024-08-098.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day5 扫描线2024-08-129.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day7 线段树分裂与合并、平衡树2024-08-1410.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day8 并查集和可持久化并查集2024-08-1511.【题解】Solution Set - NOIP2024模拟赛22024-08-1812.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day10 树的直径、重⼼、中⼼2024-08-1913.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day9 树上问题2024-08-1614.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day12 树上启发式合并2024-08-21

15.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day13 点分治、点分树2024-08-22

16.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day14 CDQ分治2024-08-2317.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day17 整体二分2024-08-2918.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day18 优化建图2024-08-3019.【题解】Solution Set - NOIP2024模拟赛42024-09-0120.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day20 DP常⻅模型1「序列」2024-09-0221.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day21 DP常⻅模型2「背包」2024-09-0322.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day22 DP常⻅模型 1「序列」& 2「背包」2024-09-0423.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day23 DP常⻅模型3「区间」2024-09-0524.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day24 DP常⻅模型3「区间」2024-09-0625.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day26 概率期望 dp2024-09-0926.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day27 dp2024-09-1027.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day28 树形 dp2024-09-1228.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day32 数位 dp2024-09-1929.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day36 dp 优化 - 状态设计2024-09-2330.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day37 计数 dp2024-09-2931.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day43 博弈论2024-10-0432.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day44-45 图论2024-10-0533.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day47 最小生成树2024-10-0834.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day50 图的连通性相关2024-10-1435.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day52 图论杂题2024-10-1536.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day53 图论杂题22024-10-1537.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day55 图论杂题32024-10-1738.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day56 2-sat & 哈希2024-10-1839.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day57 字符串 hash2024-10-2140.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day58 字符串2024-10-2241.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day60 数学2024-10-2442.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day62 贪心2024-10-2843.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day63 贪心2024-10-3144.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day71 贪心2024-11-0745.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day77 反悔贪心2024-11-1446.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day83 dp2024-11-2147.【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day87 二分 & 杂题2024-11-25

收起

【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day13 点分治、点分树

https://www.becoder.com.cn/contest/5476

---

「COCI 2018/2019」Deblo

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n{w}_i\oplus w_j\oplus a_{\text{lca}(i,j)}$$

看到异或就想到拆位。对于第 $j$ 位。

如果 $a_{\text{lca}(i,j)}$ 为 $1$，就是要在子树里面找两个当前位都为 $1$ 的对数（为 $0$ 同理），直接 dsu on tree 或者 点分治 就行了。（实际上也不需要，每个子树实际上只用开 $2\log V$ 的空间，合并的时间复杂度相同，所以可以直接存下来。（dsu 甚至还多带一个 $\log$

---

「Hdu6643」Ridiculous Netizens

看到乘积，想到根号分治。

对于当前新加入的点的权值 $a$。

如果：

1. $a>\sqrt{m}$，那么 ${\displaystyle \frac{m}{a}}<\sqrt{m}$，我们只需要记录乘积小于 $\sqrt{m}$ 的那部分。
2. $a\le \sqrt{m}$，那么对于每一个这样的 $a$ 我们可以知道最大满足和她相乘小于等于 $m$ 的值，而这样的值最多有 $\sqrt{m}$​ 个，所以直接存起来就好了。

Motivation：选取关键点 dp，减小时空。

---

跑一遍乘积和小于等于 $x$ 的依赖于父亲的树背包。

或者转化到 dfn 序上 dp，具体可以参见：https://blog.csdn.net/Emm_Titan/article/details/121255055

---

---

「ZJOI2015」幻想乡战略游戏

题意：求带权重心。支持动态修改权值。

---

考虑单个询问怎么做。

先随机走到一个点 $u$，考虑她的一个儿子 $v$，边权为 $w$，$f_i$ 表示 $i$ 的子树内 $d$ 的和，$sum$ 为整体 $d$ 的和。

那么我们用 $v$ 代替 $u$ 的充要条件为：

$$\begin{gathered} -w\times f_v+w\times (sum-f_v)<0 \\ \iff 2f_v>sum \end{gathered}$$

（实际上一般的不带权的树重心也是这样推的。

显然我们不会走回头路，所以一旦我们往一个儿子走了，其她的儿子都没用了。

所以一旦走到一个儿子又是一个子问题

可以发现，答案的决策和边权并没有关系，也就是跟树的形态没有关系。

所以我们可以直接点分树。

但是我们不能像暴力那样直接算走过一条边之后答案的变化量，因为现在是走过的一条链，而链上面还要很多点，没法直接算贡献。

然后不会了。

---

好吧，正常的点分树就和度数有关了……因为题目保证了度数小于等于 $20$ 所以我们暴力给每个儿子算答案，然后往会变小的那边走就行了。

每次算答案的话其实是一个点分树的典问题（【模板】点分树 | 震波 这应该算是加强版了），就是维护两个东西：

1. $x$ 子树中所有 $d$ 对 $x$ 的贡献；
2. $x$ 子树中所有 $d$ 对 $x$ 的父亲（点分树上）的贡献。

---

听说可以通过三度化，然后整个算法跟度数无关？