【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day8 并查集和可持久化并查集

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【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day8 并查集和可持久化并查集

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*注：如不加特殊说明，$\alpha$ 均代表并查集的小常数，有 $\alpha \le \log$。

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「AGC002D」Stamp Rally

从小到大枚举边，加入就合并。$(x,y,z)$ 就是问第一次 $x$ 所在集合大小 + $y$ 所在集合大小 $\ge z$ 的时候是多少。（如果 $x,y$ 在同一个集合中只能算一次）。这样是 $O(qm\alpha )$ 的。

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考虑改成整体二分。整体时间复杂度为 $O(q\log m\alpha )$。

只是比较难实现，每次新加边的时候要精细实现，不然很容易变成 $O(qm\log m\alpha )$。

具体的，每次加边的时候记录所有的修改位置和之前的量（所以不能路径压缩），加完边，不清空，直接递归右边，然后再清空回去，递归左边。

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或者，更直接一点我们直接把并查集可持久化，每次询问都直接二分，然后 $O(\log q)$ 在可持久化并查集上面查。总共就是两只 $\log$。

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还有一个 kruskal 重构树的 $O(q{\log }^{2}n)$ 做法，有时间去复习一下。

kruskal 重构树本质上也是也就是在维护可持久化并查集的过程。—— yly

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代码写的是整体二分。

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「 CF1659E」AND-MEX Walk

观察样例可以发现，答案只有可能 $0/1/2$。（如果没有猫娘和揭的提醒，可能都想不到 /lb

考虑把每个 $w_i$ 二进制拆分，然后按顺序放在表格的每一列。

我们发现如果要把每个 $w_i$ 转化为 $w_1\mathrm{\&}\cdots \mathrm{\&}{w}_i$ 其实就是把每一行的第一个 $0$ 一直填充到行末。

考虑以下事实：

1. 如果存在某一行都是 $1$，那么答案就是 $0$。因为所有的值都大于 $0$。
2. 否则，我们考虑最后一行。
   1. 如果最后一行第一次出现 $0$ 不是最后出现的或者就是最后一次出现，那么答案就肯定是 $1$。考虑最后两行，从左至右一定是：一段 $3$，一段 $2$，一段 $0$。
   2. 否则，答案就应该是 $2$。考虑最后两行，从左至右一定是：一段 $3$，一段 $1$，一段 $0$。

简述一下题解的证明：

考虑反证。如果最终答案 $\ge 3$，那么在 $\mathrm{\&}$ 的前缀中一定存在 $1/2$。我们注意到 $1=(01{)}_2,2=(10{)}_2$，无论这二者谁排在前面，都会使末两位中的某一位上面一直保持为 $0$，从而此二者一定不能共存，与假设中 $1/2$ 同时存在矛盾！

感觉还是挺妙的。根据结论来证，难猜的结论。

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所以现在我们把一个计算题，转化成了判定题，因而要求的东西就明朗了。

首先判定答案为 $0$ 的情况。

对于二进制的每一位，如果一条边权在该位上为 $1$，就连边，然后用并查集维护联通块，查询的时候如果 $u,v$ 在同一个联通块内，答案即为 $0$；

然后判定 $1$。

类似的，我们把末两位均为 $1$ 的边连上，维护每个联通块。然后再把把末两位为 $(10{)}_2$ 的边连上，同样维护每个联通块。查询的时候，就看 $u$ 在第一个图里面的联通块，和 $v$ 在第二个图里面的的联通块是不是有交集。

和下面 「JOI Open 2016」销售基因链 又很类似，可以重标号转化为一个二维数点问题。

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「JOI Open 2016」销售基因链

其实这道题想到 trie 就简单了。

考虑对所有串正反分别建一棵 trie。现在问题就转化为一个典问题：给定两棵子树求叶子节点的交集。

首先按照 dfs 序对其中的一棵树重编号，让子树内叶子节点变为连续的，然后另一棵子树线段树合并，最后求一下区间和就好了。

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「Ynoi2010」Fusion tree/融合树

考虑给树上节点重编号。使得每个节点往下的那些节点都是连续的，于是一次修改就等价于线段树上的区间加，单点加，区间异或和。

现在难点在于如何，区间加，区间异或和。

每次区间加都是 1，这可能挺关键。而且区间一共只有 $n$ 种，每种还互不相交。

不会了。😭

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对于一棵 0-1 trie，我们可以对所有数字 $+1$，然后维护异或和。

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