【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day5 扫描线

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【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day5 扫描线

「CF1401E」Divide Square

先把每一条线多出来的那些部分给截去。

然后每一条竖着的线可以把她的向前/向后的横着的线分成两半。

实际上也没什么用

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结论： $Ans=$ 正方形内交点个数 + 贯穿整个边长的线段数 + 1

证明：

我们还是先把每一条线多出来的那些部分给截去，发现这样并不改变交点个数。

然后考虑动态加线段的过程。

一开始一条边都没有，显然整个答案为整个正方形为 $1$。

分讨：

1. 如果没有完全贯穿。

   一个交点肯定就对应了一个矩形。

2. 完全贯穿，就拆分成前后两个没有完全贯穿的线段，但是还要加上最中间的一个。

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「CF283E」Cow Tennis Tournament

先对 $a_i$ 排序。每一次操作等价于一个区间。

既然是扫描线，我们考虑把每一条边用个坐标来表示，一开始是一个右下的直角三角形。

每次相当于对一个小三角形沿 $y=x$ 翻折。

发现每次操作其实是独立的，也就是说可以交换顺序。

实际上还是没什么用。😥

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https://www.luogu.com.cn/article/6grc5thr

扯一下，题解到底在干嘛。

$a_{i,j}$ 如果是 $1$ 的话，说明 $i$ 有一条出边，所以就是对于每个 $i$ 问线段树上除了自己的总和。

对于每个修改 $[l,r]$，就是对于每个 $i\in [l,r]$，把她那棵线段树上的 $[l,r]$ 去加取反。

然后如果我们从小到大枚举 $i$，只需要在 $l,r+1$ 的时候取反就可以了。相当于把修改差分了一下。

吐槽一下，不是这个题为什么也是扫描线啊（不会就是这个差分吧。😅

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「Hdu5770」Treasure

考虑枚举每个起点，显然她的路径肯定是先往上一截（可以为 $0$），再往下走子树。

感觉暴力枚举起点来找终点好像没什么前途。

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考虑把每个宝箱需要的链找出来，具体的：对于宝箱 $a,b,v$，设 $c=\text{lca}(a,b)$。

然后考虑什么样的起点/终点能包含她。（这个没想到

设：$\text{subtree}(a)$ 表示 $a$ 的子树，$\text{son(a,b)}$ 既是 $a$ 的儿子又在链 $a-b$ 上的点。

分讨：

1. $a\ne c,b\ne c$：$s\in \text{subtree}(a),t\in \text{subtree}(b)$。
2. $a=c,b\ne c$：$s\notin \text{subtree}(\text{son}(a,b)),t\in \text{subtree}(b)$。
3. $a\ne c,b=c$：$s\in \text{subtree}(a),t\notin \text{subtree}(\text{son}(b,a))$。
4. $a=b$：只要 $s,t$ 不属于 $a$ 的某一个儿子的子树就行。

上面这些都不难用 dfn 序刻画为一个矩形，所以我们就是求这个矩形的单点最大值。

这样就可以扫描线了。

注意 $a=b$ 的情况对于相同的 $a_i,a_j$ 我们累加在一起只处理一遍，不然会被菊花图卡掉。

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