【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day3 权值线段树、动态开点、主席树
【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day3 权值线段树、动态开点、主席树
「JSOI2018」列队
一个结论：所有的人都按顺序依次去她该去的位置，一定是不劣的。bf
现在式子变成了：（\(a_i\) 排序
\[Ans=\sum_{i=1}^{r-l+1}|a_i-(k+i-1)|
\]
先建一颗主席树，维护 \(a_i\)。
显然 \(a_i,k+i\) 都单增，而且 \(a_i\) 的变化量一定是不小于 \(k+i\) 的，所以可以二分中间的断点来消除绝对值。
时间复杂度：\(O(n\log n\log V)\)。
然后发现 T 了。
改成线段树上二分就好了。
注意一下，与直接二分位置不同，线段树上二分要二分值域，然后再推出位置。
「BZOJ十连测」可持久化串串
首先，最短循环节 = \(n\) - 最长的 border。
如果每次暴力跑这条链的话，时间复杂度应该是所有链的长度之和，
Solution1 - border 性质
考虑让每次跳 \(nxt\) 不超过 \(\log \text {链长}\) 次。设当前点为 \(i\)。
对于每一次 \(s[nxt_j+1]\ne s[i]\) 分讨一下：
- \(nxt_j\le \left\lfloor\frac j2\right\rfloor\)：直接跳，\(j\) 的规模减小一半。
- \(nxt_j> \left\lfloor\frac j2\right\rfloor\)：一定存在一个 \(j-nxt_j\) 的循环节，而对于每一个循环节的后一个元素一定 \(\ne s[i]\)，所以我们可以一次性跳到第一个循环节的末尾，即 \(j\bmod (j-nxt_j)\)，因为 \(j-nxt_j\le \left\lfloor\frac j2\right\rfloor\)，所以 \(j\) 的规模也减小一半。
每次倍增判断 \(s[nxt_j+1]=s[i]\)，总时间复杂度为 \(O(n\log^2n)\)。
Solution2 - 可持久化
考虑维护从任意点作为最后元素，在加入任意一个新元素 \(i\) 时，\(j\) 从 \(nxt_{fa}\) 最后跳到的 \(nxt\)（其实就是直接维护所有可能出现的询问。
先从 \(nxt_i\) 继承，然后更新一下 \(ch\) 的位置就好了。
时间复杂度：\(O(n\log n)\)。
今天的题都是自己做出来的，可喜可贺😉
